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- 2021-06-04 发布
【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】
第43讲 几何概型的方法破析
考纲要求:
1． 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2． 了解几何概型的意义(长度型、角度型、面积型、体积型)．
基础知识回顾:
一、几何概型
1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．特点：(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布．
二、几何概型的概率公式：P(A)＝
应用举例:
类型一、与长度(角度)有关的几何概型
例1、 如图1所示，在直角坐标系内，射线OT落在 30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为____．
解析：如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为＝.
例2、在矩形中中，，在上任取一点，的最大边是的概率是（ ）．
A． B． C． D．
例3、在上随机取一个数，能使函数在上有零点的概率为 ．
解析：若有零点，则，解得或，
由几何概型可得函数有零点的概率.
点评：求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．
类型二、与体积有关的几何概型
例4、有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 .
解析：先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×π×13＝π.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为＝，故点P到点O的距离大于1的概率为1－＝.
例5、如图2，长方体ABCDA1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥AA1BD内的概率为________．
解析：设事件M＝“动点在三棱锥AA1BD内”，
P(M)＝＝＝＝.
例6、用橡皮泥做成一个直径为6 cm的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的砂粒，求这个砂粒距离球心不小于1 cm的概率．
类型三、与面积有关的几何概型
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．归纳起来常见的命题角度有：
(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题．
例7、如图3，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．
在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A．1－ B.－C. D.
解析：解法一 解题关键是求出空白部分的面积，用几何概型求解．
设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图4，连接OC， DC.不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝＋×1×1－＝1，所以整体图形中空白部分面积S2＝2.又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，所以阴影部分面积为S3＝π－2.所以P＝＝1－.
解法二 连接AB，由S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC可求出空白部分面积．设分别以OA，OB
为直径的两个半圆交于点C，令OA＝2.如图4，连接AB，由题意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC，所以S空白＝S△OAB＝×2×2＝2.又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，所以S阴影＝π－2.所以P＝＝＝1－.
(2)与线性规划知识交汇命题的问题．
例8、在区间上随机选取两个数和，则的概率为（ ）
A. B． C. D．
解析：的概率为.选A.
(3)与平面向量的线性运算交汇命题的问题．
例9、已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0.现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( )
A. B. C. D.
(4)与定积分交汇命题问题．
例10、设（为自然对数的底数），任取，则满足的概率是 （结果用表示）．
解析：样本空间为一个矩形，面积为，而满足的面积为，所以概率是
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)＝.
方法、规律归纳:
1、与长度(角度)有关的几何概型的公式：P(A)＝
2、与体积有关的几何概型的公式：P(A)＝.
实战演练:
1. 已知函数，当时，的概率为（ ）
A． B． C. D．
解析：由及得，所以所求概率为，故选D.
2．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（ ）
A． B． C. D．
3．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径2百米，中间有边长为1百米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ）
A． B． C． D．
解析：根据几何概型的求解方法可知，用正方形的面积除以圆的面积即为所求概率，所以，故选C.
4．如图所示，墙上挂有边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．与的取值有关
解析：图是阴影部分的面积为，所以他击中阴影部分的概率是，故选A.
5．已知函数 ，若在区间内随机取一个数，则的概率为 （ ）
A． B． C. D．
6．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4，0≤c≤4.记函数f(x)满足条件为事件A，则事件A发生的概率为( )
A. B. C. D.
7．记集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}和集合B＝{(x，y)|x＋y－2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2的概率为________．
解析：作圆O：x2＋y2＝4，区域Ω1就是圆O内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△OAB内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为＝.
8．数轴上有四个间隔为1的点依次为记为、、、，在线段上随机取一点，则点到、两点的距离之和小于2的概率为 ．
解析：画出数轴，由图知，当点位于线段中点与线段中点之间时，点到两点的距离之和小于2，所以所求概率．
9．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率；
(2)若x∈，y∈，求向量a，b的夹角是钝角的概率．
解析：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P(A)＝＝，即向量a∥b的概率为.
(2) 设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，
(3) 即2x＋y<0，且x≠2y.基本事件空间为Ω＝，
B＝，则由图可知，P(B)＝＝＝，
即向量a，b的夹角是钝角的概率是.
10．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
(ⅰ)记“a＋b＝2”为事件A，求事件A的概率；
(ⅱ)在区间内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．