专题21+等差数列及其前n项和-高考全攻略之备战2018年高考数学（文）考点一遍过 31页

考点21等差数列及其前n项和 ‎（1）理解等差数列的概念.‎ ‎（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎（3）了解等差数列与一次函数的关系.‎ 一、等差数列 ‎1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数．‎ ‎2．等差中项 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且．‎ ‎3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为．‎ 公式的变形：，．‎ ‎4．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式，可得．‎ 令，，则，其中，为常数．‎ ‎（1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列．‎ ‎（2）当时，，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点．‎ 二、等差数列的前n项和 ‎1．等差数列的前n项和 首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：．‎ 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点；‎ 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点．‎ 我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题．‎ ‎2．用前n项和公式法判定等差数列 等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列．‎ 三、等差数列的性质 ‎1．等差数列的常用性质 由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：‎ ‎（1）通项公式的推广：，．‎ ‎（2）若，则．‎ 特别地，①若，则；‎ ‎②若，则．‎ ‎③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即 ‎（3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．‎ ‎（4）数列是常数是公差为td的等差数列．‎ ‎（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列．‎ ‎（6）若，则．‎ ‎2．与等差数列各项的和有关的性质 利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：‎ 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， ‎ ‎（1）数列是等差数列，首项为，公差为．‎ ‎（2）构成公差为的等差数列．‎ ‎（3）若数列共有项，则，．‎ ‎（4）若数列共有项，则，．‎ ‎（5），．‎ 考向一 等差数列的判定与证明 等差数列的判定与证明的方法：‎ 定义法：或是等差数列；‎ 定义变形法：验证是否满足；‎ 等差中项法：为等差数列；‎ 通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；‎ 前n项和公式法：为常数为等差数列．‎ 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；‎ ‎（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．‎ 典例1已知数列满足，（），.‎ ‎（1）证明：数列为等差数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎（2）由（1）知，即，‎ 所以.‎ ‎1．已知数列‎{an}‎满足，，an‎>0‎，，则a‎2017‎‎=‎ A． B． C． D． 考向二 等差数列中基本量的求解 ‎1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．‎ ‎2．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，d，n，，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．‎ 典例2已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵是等差数列，∴，，∴，解得，‎ ‎∴，故填6．‎ 典例3在等差数列中，a1＝1，S5＝－15.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前k项和Sk＝－48，求k的值．‎ ‎（2）由（1）可知an＝3－2n，所以.‎ 令，即k2－2k－48＝0，解得k＝8或k＝－6.‎ 又，故k＝8.‎ ‎2．记为等差数列的前项和.若，，则的公差为 A．1 B．2 ‎ C．4 D．8‎ 考向三求解等差数列的通项及前n项和 ‎1．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解.‎ 在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中项的常见设法有：（1）通项法；（2）对称项设法.当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：；当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：.‎ ‎2．递推关系式构造等差数列的常见类型：‎ ‎（1）转化为常数，则是等差数列；‎ ‎（2）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列；‎ ‎（3）转化为常数，则是等差数列；‎ ‎（4）转化为常数，则是等差数列；‎ ‎（5）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列．‎ ‎3．等差数列前n项和公式的应用方法：‎ 根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；若已知通项公式，则使用 ‎，同时注意与性质“”的结合使用.‎ 典例4已知数列中，，当时，，求数列的通项公式．‎ 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，‎ 所以，故．‎ 典例5已知为等差数列的前n项和，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为d，依题意得，解得，‎ 则.‎ 故数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）得，‎ ，‎ 故数列的前n项和.‎ ‎3．已知函数满足，且，则数列的前20项和为．‎ 考向四数列的前n项和的求解 ‎1．求数列的前n项和的关键是分清哪些项为正的，哪些项为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列进行求和．‎ ‎2．当的各项都为非负数时，的前n项和就等于的前n项和；当从某项开始各项都为负数（或正数）时，求的前n项和要充分利用的前n项和公式，这样能简化解题过程．‎ ‎3．当所求的前n项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示．‎ 典例6已知数列的前项和为.‎ ‎（1）请问数列是否为等差数列？如果是，请证明；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（1）由可得，‎ 两式相减可得 于是由可知数列为等差数列.‎ ‎（2）记数列的前项和为，‎ .‎ 故数列的前项和为.‎ 典例7设数列满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎（2）设数列的前项和为，当时，，所以有 当时，；‎ 当时，‎ ‎.‎ 综上，.‎ ‎4．在公差为的等差数列中,已知,. ‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求.‎ 考向五 等差数列的性质的应用 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.‎ 解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提．如，则，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．‎ 典例8已知等差数列的公差，，则__________．‎ ‎【答案】180‎ 典例9一个等差数列的前10项的和为30，前30项的和为10，求前40项的和．‎ ‎【解析】方法1：设其首项为，公差为d，则，解得，，故．‎ 方法2：易知数列成等差数列，设其公差为，则前3项的和为，即，‎ 又，所以，所以，‎ 所以．‎ 方法3：设，则，解得，‎ 故，所以．‎ 方法4：因为数列是等差数列，所以数列也是等差数列，点 在一条直线上，即，，三点共线，于是，将，代入解得．‎ 方法5：因为，‎ 又，所以，所以．‎ 方法6：利用性质：，可得．‎ 方法7：利用性质：当，时，．‎ 由于，，可得．‎ ‎5．在等差数列中，若，则的值为 A．B． C．D． 考向六 等差数列的前n项和的最值问题 ‎1．二次函数法：，由二次函数的最大值、最小值的知识及知，当n取最接近的正整数时，取得最大（小）值．但应注意，最接近的正整数有1个或2个．‎ 注意：自变量n为正整数这一隐含条件.‎ ‎2．通项公式法：求使()成立时最大的n值即可．‎ ‎ 一般地，等差数列中，若，且，则 ‎ ①若为偶数，则当时，最大；‎ ‎ ②若为奇数，则当或时，最大．‎ ‎3．不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和的最大值．‎ 典例10已知数列是一个等差数列，且，.‎ ‎（1）求的通项；‎ ‎（2）求的前n项和的最大值．‎ 根据二次函数的图象及性质可知，当时，前项和取得最大值，最大值为4.‎ 典例11已知数列,,前n项和Sn=(an+2)2.‎ ‎（1）求证：{an}是等差数列；‎ ‎（2）设bn=an-30，求数列{bn}的前n项和的最小值.‎ ‎【解析】（1）由已知得8Sn=(an+2)2,则8Sn-1=(an-1+2)2(n≥2),‎ 两式相减,得8an=(an+2)2-(an-1+2)2,即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.‎ 因为,所以an+an-1>0,所以an-an-1=4(n≥2),‎ 故数列{an}是以4为公差的等差数列.‎ ‎（2）令n=1,得S1=a1=(a1+2)2,解得a1=2.‎ 由（1）知an=2+(n-1)×4=4n-2,所以bn=an-30=2n-31.‎ 由bn=2n-31<0,得n<,‎ 即数列{bn}的前15项为负值,n≥16时bn>0.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn,‎ 则T15最小,其值为.‎ ‎6．在等差数列{an}中,a1=10,其前n项和为Sn,且S10=S15,当n取何值时,Sn有最大值?并求出最大值.‎ ‎1．若数列的通项公式是，则此数列 A．是公差为2的等差数列B．是公差为3的等差数列 C．是公差为5的等差数列D．不是等差数列 ‎2．若等差数列满足递推关系，则 A．B． C．D． ‎3．若一等差数列前三项的和为122，后三项的和为148，又各项的和为540，则此数列共有 A．3项B．12项 C．11项D．10项 ‎4．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于 A．6 B．7‎ C．8 D．5 ‎ ‎5．若数列满足且，则使的的值为 A．B． C．D． ‎6．《九章算术》是中国古代的数学专著，有题为：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问需几日相逢.‎ A．9B．8‎ C．16D．12‎ ‎7．已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤，其中正确命题的个数为 A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ ‎8．已知数列满足条件，则．‎ ‎9．在等差数列{an}中，S4＝4，S8＝12，则S12＝________.‎ ‎10．若等差数列满足，，则= __________．‎ ‎11．设等差数列的公差是，其前项和是，若，则的最小值是__________．‎ ‎12．等差数列的前项和为，且，，数列满足，则数列的前9项和__________．‎ ‎13．已知数列的前项和为，，，，其中为常数，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.‎ ‎14．已知等差数列an的前三项为a-1,4,2a,记前n项和为Sn‎.‎ ‎（1）设Sk‎=2550‎,求a和k的值；‎ ‎（2）设,求b‎3‎‎+b‎7‎+b‎11‎+⋯+‎b‎4n-1‎的值.‎ ‎15．已知正项数列的前项和为,且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设,数列的前项和为,证明：.‎ ‎16．已知数列的各项为正数，其前项和满足，设.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求的最大值；‎ ‎（3）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎1．（2017浙江）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5‎ ‎”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．（2016浙江文如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，表示点P与Q不重合．若为的面积，则 A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 ‎3．（2016新课标全国II文等差数列中，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．‎ ‎4．（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．‎ ‎（1）证明：等差数列是“数列”；‎ ‎（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．‎ 变式拓展 ‎1．【答案】B ‎【解析】因为，所以数列成等差数列，公差为‎1‎a‎2‎‎2‎‎-‎1‎a‎1‎‎2‎=1‎，因此，选B. ‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】为等差数列的前项和，，，‎ 解得故数列的公差为2．故选B．‎ ‎3．【答案】 ‎4．【解析】（1）由,，易知公差，‎ 则数列的通项公式为.‎ ‎（2）设数列的前n项和为，, ‎ 当时，；‎ 当时，, ‎ 则，‎ 又，‎ 所以.‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】由题意知，即，解得，设等差数列的公差为，则，故选C.‎ 由于d=<0,则数列{an}是一个单调递减的等差数列,‎ 又由于a13=0,a1>a2>…>a12>a13=0>a14>a15>‎⋯‎,‎ 所以当n=12或13时,Sn有最大值,‎ 最大值为S12=S13==65.‎ 考点冲关 ‎1．【答案】A ‎【解析】由题意可得，，故此数列是以公差为2的等差数列，故选A.‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】令，得；令，得，‎ 两式相加，得，所以，故选B.‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】设此等差数列共有项，‎ ，，‎ 又.故选B.‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】由，得，，，故数列的前6项均为负数项，当取最小值时,n等于6.‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】因为，所以是等差数列，且公差，则 ，所以由题设可得 ，则，故选C.‎ ‎6．【答案】A ‎7．【答案】B ‎【解析】因为，，所以，①正确；‎ ，②正确；‎ ，，③不正确；‎ 因为，所以数列的最大项为，④不正确；‎ 因为，所以，⑤正确. 故选B.‎ ‎8．【答案】 ‎【解析】由条件得，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，则．‎ ‎9．【答案】24‎ ‎【解析】由等差数列的性质可知成等差数列，所以，解得.‎ ‎10．【答案】 ‎11．【答案】 ‎【解析】由，可知.‎ 则(当且仅当n=4时取等号)．故填．‎ ‎12．【答案】180‎ ‎【解析】设等差数列的公差为，因为，所以，两式相减得，为常数，所以数列也为等差数列. 因为为等差数列，且，所以，所以等差数列的公差为，所以前项和为，所以，故填.‎ ‎13．【解析】（1）由题设，①，②．‎ ‎②①得，．‎ 由于，所以．‎ ‎（2）由题设，，，可得，‎ 由（1）知，．令，‎ 解得．‎ 故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；‎ 是首项为3，公差为4的等差数列，．‎ 所以，．‎ 因此存在，使得为等差数列．‎ ‎14．【解析】（1）由已知得a‎1‎‎=a-1,a‎2‎=4,a‎3‎=2a.‎ 又a‎1‎‎+a‎3‎=2‎a‎2‎,∴‎(a-1)+2a=8‎,即a=3‎.∴a‎1‎‎=2‎,公差d=a‎2‎-a‎1‎=2‎.‎ 由,得‎2k+k(k-1)‎‎2‎×2=2550‎，即k‎2‎‎+k-2550=0‎，解得k=50‎或k=-51‎(舍去).‎ ‎∴a=3,k=50‎.‎ ‎（2）由,得Sn‎=2n+n(n-1)‎‎2‎×2=n‎2‎+n.‎ ‎∴,∴‎{bn}‎是等差数列.‎ 则b‎3‎‎+b‎7‎+b‎11‎+…+‎b‎4n-1‎=‎(3+1)+(7+1)+(11+1)+…+(4n-1+1)‎=‎(4+4n)n‎2‎‎=2n‎2‎+2n，‎ 即b‎3‎‎+b‎7‎+b‎11‎+…+‎b‎4n-1‎=‎2n‎2‎+2n.‎ 所以数列是首项为1,公差为2的等差数列,则.‎ ‎（2）由题意知,‎ 所以数列的前项和.‎ 又,所以.‎ ‎16．【解析】（1）当时，，∴．‎ 当时，，即，‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎∴，则是等差数列，．‎ ‎（2），，∵，∴是等差数列，‎ ‎∴，当时，．‎ ‎（3）由（1）知.‎ 要使成等差数列，必须，即，整理得，‎ 因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5. ‎ 当时，；当时，；当时，.‎ 故存在正整数t，使得成等差数列.‎ 直通高考 ‎1．【答案】C ‎2．【答案】A ‎【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度的一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么需要知道的关系式．‎ 由于和两个垂足构成了直角梯形，那么，其中 为两条线的夹角，即为定值，则，把n换成n+1可得，‎ 作差后：，为定值，所以是等差数列．‎ ‎3．【解析】（1）设数列的公差为d，由题意有，，解得，‎ 所以的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 当1，2，3时，；‎ 当4，5时，；‎ 当6，7，8时，；‎ 当9，10时，，‎ 所以数列的前10项和为．‎ ‎4．【思路分析】（1）利用等差数列性质得，即得，‎ 再根据定义即可判断；（2）先根据定义得，‎ ，再将条件集中消元：，‎ ，即得，最后验证起始项也满足即可．‎ 因此等差数列是“数列”．‎ ‎（2）数列既是“数列”，又是“数列”，‎ 因此，当时，，①‎ 当时，．②‎ 由①知，，③‎ ，④‎ 将③④代入②，得，其中，‎ 所以是等差数列，设其公差为．‎ 在①中，取，则，所以，‎ 在①中，取，则，所以，‎ 所以数列是等差数列． ‎