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2016-2017 学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、
市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期中数学试卷（文
科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．
1．数列 1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式 an 为（ ）
A．2n﹣1 B．﹣3n+2 C．（﹣1）n+1（3n﹣2） D．（﹣1）n+13n﹣2
2．在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=8，则 a7=（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
3．在△ABC 中，a=1，b=4，C=60°，则边长 c=（ ）
A．13 B． C． D．21
4．若 a＜b＜0，则（ ）
A．0＜ ＜1 B．ab＜b2 C． ＞ D． ＜
5．在△ABC 中， ，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形
6．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，a=5，b=4，cosC= ，则△ABC 的面
积是（ ）
A．16 B．6 C．4 D．8
7．等差数列{an}中，已知前 15 项的和 S15=45，则 a8 等于 （ ）
A． B．6 C． D．3
8．在△ABC 中，已知 a=2 ，b=6，A=30°，则 B=（ ）
A．60° B．120° C．120°或 60° D．45°
9．在等比数列{an}中，已知 a1=3，公比 q=2，则 a2 和 a8 的等比中项为（ ）
A．48 B．±48 C．96 D．±96
10．不等式 的解集为 （ ）
A．{x|x＜﹣2 或 x＞3} B．{x|x＜﹣3 或 x＞2} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜
x＜2}
11．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知在 Sn 中有 S16＜0，S17＞0，那么 Sn 中最小的是
（ ）
A．S6 B．S7 C．S8 D．S9
12．已知 x＞0，y＞0， + =1，不等式 x+y≥2m﹣1 恒成立，则 m 的取值范围（ ）
A．（﹣∞， ] B．（﹣∞， ] C．（﹣∞， ] D．（﹣∞， ]
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 z=x﹣3y 的最大值为
14．已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，则数列的通项 an= ．
15．如图，一船以每小时 20km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°方
向，行驶 4 小时后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15°方向，这时船与灯塔间的距离
为 km．
16．将边长为 1 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
，则 S 的最小值是 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知等差数列{an}满足 a1+a2=3，a4﹣a3=1．设等比数列{bn}且 b2=a4，b3=a8
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设 cn=an+bn，求数列{cn}前 n 项的和 Sn．
18．如图所示，已知在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠
BCD=135°．
（1）求∠BDA 的大小
（2）求 BC 的长．
19．已知 f（x）=x2﹣3ax+2a2．
（1）若实数 a=1 时，求不等式 f（x）≤0 的解集；
（2）求不等式 f（x）＜0 的解集．
20．在锐角△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 ．
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 b=6，a+c=8，求△ABC 的面积．
21．某农户建造一座占地面积为 36m2 的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制，
鸡舍侧面的长度 x 不得超过 7m，墙高为 2m，鸡舍正面的造价为 40 元/m2，鸡舍侧面的造价
为 20 元/m2，地面及其他费用合计为 1800 元．
（1）把鸡舍总造价 y 表示成 x 的函数，并写出该函数的定义域．
（2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？
22．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=1，Sn=nan﹣n（n﹣1）．
（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别求出 an 的表达式；
（2）设数列 的前 n 项和为 Pn，求证：Pn＜ ；
（3）设 Cn= ，Tn=C1+C2+…+Cn，试比较 Tn 与 的大小．
2016-2017 学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安
二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期
中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．
1．数列 1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式 an 为（ ）
A．2n﹣1 B．﹣3n+2 C．（﹣1）n+1（3n﹣2） D．（﹣1）n+13n﹣2
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】根据前几项的特点和规律，可知数列中符号是正负交替，而绝对值为 3n﹣2．
【解答】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）
n+1，绝对值为 3n﹣2，故通项公式 an=（﹣1）n+1（3n﹣2）．
故选：C．
2．在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=8，则 a7=（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由题意可得 a4=4，进而可得公差 d=1，可得 a7=a1+6d，代值计算即可．
【解答】解：∵在等差数列{an}中 a1=2，a3+a5=8，
∴2a4=a3+a5=8，解得 a4=4，
∴公差 d= = ，
∴a7=a1+6d=2+4=6
故选：B．
3．在△ABC 中，a=1，b=4，C=60°，则边长 c=（ ）
A．13 B． C． D．21
【考点】余弦定理．
【分析】由已知利用余弦定理即可得解 c 的值．
【解答】解：∵a=1，b=4，C=60°，
∴由余弦定理可得：c= = = ．
故选：B．
4．若 a＜b＜0，则（ ）
A．0＜ ＜1 B．ab＜b2 C． ＞ D． ＜
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据已知中 a＜b＜0，结合不等式的基本性质，逐一分析四个式子的正误，可得答
案．
【解答】解：∵a＜b＜0，
∴0＜ ＜1，正确；
ab＜b2，错误；
＜ ＜0，错误；
0＜ ＜1＜ ，错误；
故选：A．
5．在△ABC 中， ，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形
【考点】正弦定理．
【分析】由已知及余弦定理即可解得 b=c，从而得解．
【解答】解：∵ ，
又∵cosC= ，
∴ = ，整理可得：b2=c2，
∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形．
故选：A．
6．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，a=5，b=4，cosC= ，则△ABC 的面
积是（ ）
A．16 B．6 C．4 D．8
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinC 的值，进而利用三角形面积公式即
可得解．
【解答】解：∵a=5，b=4，cosC= ，可得：sinC= = ，
∴S△ABC= absinC= =8．
故选：D．
7．等差数列{an}中，已知前 15 项的和 S15=45，则 a8 等于 （ ）
A． B．6 C． D．3
【考点】等差数列的前 n 项和．
【分析】利用等差数列与求和公式及其性质即可得出．
【解答】解：由等差数列的性质可得：S15= =15a8=45，则 a8=3．
故选：D．
8．在△ABC 中，已知 a=2 ，b=6，A=30°，则 B=（ ）
A．60° B．120° C．120°或 60° D．45°
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理可求 sinB 的值，结合 B 的范围由特殊角的三角函数值即可得
解．
【解答】解：∵a=2 ，b=6，A=30°，
∴由正弦定理可得：sinB= = = ，
∵B∈（0°，180°），
∴B=120°或 60°．
故选：C．
9．在等比数列{an}中，已知 a1=3，公比 q=2，则 a2 和 a8 的等比中项为（ ）
A．48 B．±48 C．96 D．±96
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】先求出 a2 和 a8，由此能求出 a2 和 a8 的等比中项．
【解答】解：∵在等比数列{an}中，a1=3，公比 q=2，
∴a2=3×2=6，
=384，
∴a2 和 a8 的等比中项为 =±48．
故选：B．
10．不等式 的解集为 （ ）
A．{x|x＜﹣2 或 x＞3} B．{x|x＜﹣3 或 x＞2} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜
x＜2}
【考点】其他不等式的解法．
【分析】不等式即即 ＞0，即（x﹣3）•（x+2）＞0，由此求得 x 的范围．
【解答】解：不等式 ，即 ＞0，即（x﹣3）•（x+2）＞0，
求得 x＞3，或 x＜﹣2，
故选：A．
11．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知在 Sn 中有 S16＜0，S17＞0，那么 Sn 中最小的是
（ ）
A．S6 B．S7 C．S8 D．S9
【考点】等差数列的前 n 项和．
【分析】由 S16＜0，S17＞0，利用求和公式及其性质可得：a8＜0，a9＞0，即可得出．
【解答】解：∵S16＜0，S17＞0，
∴ =8（a8+a9）＜0， =17a9＞0，
∴a8＜0，a9＞0，
∴公差 d＞0．
∴Sn 中最小的是 S8．
故选：C．
12．已知 x＞0，y＞0， + =1，不等式 x+y≥2m﹣1 恒成立，则 m 的取值范围（ ）
A．（﹣∞， ] B．（﹣∞， ] C．（﹣∞， ] D．（﹣∞， ]
【考点】基本不等式．
【分析】要使不等式 x+y≥2m﹣1 恒成立，只要求出 x+y 的最小值，得到关于 m 的不等式
解之即可．
【解答】解：x＞0，y＞0， + =1，不等式 x+y≥2m﹣1 恒成立，
所以（x+y）（ + ）=10+ ≥10 =16，
当且仅当 时等号成立，所以 2m﹣1≤16，解得 m ；
故 m 的取值范围是（﹣ ]；
故选 D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 z=x﹣3y 的最大值为 5
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由 z=x﹣3y 得 y= ，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线 y= ，
由图象可知当直线 y= 经过点 C 时，直线 y= 的截距最小，
此时 z 最大，
由 ，解得 ，即 C（2，﹣1）．
代入目标函数 z=x﹣3y，
得 z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，
故答案为：5．
14．已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，则数列的通项 an= 2n﹣1 ．
【考点】数列的函数特性；数列的概念及简单表示法．
【分析】运用累加法求解：an﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1 即可得到答案．
【解答】解：∵a1=1，an+1=an+2n，
∴a2﹣a1=2，
a3﹣a2=22，
…
an﹣an﹣1=2n﹣1，
相加得：an﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1，
an=2n﹣1，
故答案为：2n﹣1，
15．如图，一船以每小时 20km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°方
向，行驶 4 小时后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15°方向，这时船与灯塔间的距离
为 km．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】根据题意求出∠B 与∠BAC 的度数，再由 AC 的长，利用正弦定理即可求出 BC 的
长
【解答】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，
在△ABC 中，根据正弦定理得：BC= = 海里，
则这时船与灯塔的距离为 海里．
故答案为 ．
16．将边长为 1 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
，则 S 的最小值是 ．
【考点】基本不等式．
【分析】先设剪成的小正三角形的边长为 x 表示出 S 的解析式，然后求 S 的最小值，令
3﹣x=t，代入整理，利用基本不等式得到最小值．
【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为 x，则：S= =
，（0＜x＜1）
令 3﹣x=t，t∈（2，3），
∴S= = = ，当且仅当 t=
即 t=2 时等号成立；
故答案为： ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知等差数列{an}满足 a1+a2=3，a4﹣a3=1．设等比数列{bn}且 b2=a4，b3=a8
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设 cn=an+bn，求数列{cn}前 n 项的和 Sn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由等差数列的性质可知： ，求得首项及公差，根据等差数列通项
公式即可求得数列{an}的通项公式，即可求得 a4，a8，根据等比数列性质求得首项及公比，
即可求得数列{bn}的通项公式；
（2）由（1）可知：采用分组求和，根据等比数列及等差数列前n项和公式，即可求得数列{cn}
前 n 项的和 Sn．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为 d，则由 ，可得 ，…
解得： ，
∴由等差数列通项公式可知：an=a1+（n﹣1）d=n，
∴数列{an}的通项公式 an=n，
∴a4=4，a8=8
设等比数列{bn}的公比为 q，则 ，
解得 ，
∴ ；
（2）∵ …
∴ ，
= ，
= ，
∴数列{cn}前 n 项的和 Sn= ．
18．如图所示，已知在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠
BCD=135°．
（1）求∠BDA 的大小
（2）求 BC 的长．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由已知及余弦定理可求 cos∠BDA 的值，结合角的范围即可得解．
（2）由（1）及已知可求∠BDC=30°，利用正弦定理即可得解 BC 的值．
【解答】（本题满分为12 分）
解：（1）在△ABC 中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得
…
= …
∴∠BDA=60°…
（2）∵AD⊥CD，
∴∠BDC=30°…
在△ABC 中，由正弦定理得 ，…
∴ ． …
19．已知 f（x）=x2﹣3ax+2a2．
（1）若实数 a=1 时，求不等式 f（x）≤0 的解集；
（2）求不等式 f（x）＜0 的解集．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法计算即可．
（2）对系数 a 进行讨论，根据一元二次不等式的解法求 f（x）＜0 的解集．
【解答】解：（1）当 a=1 时，依题意得 x2﹣3x+2≤0
因式分解为：（x﹣2）（x﹣1）≤0，
解得：x≥1 或 x≤2．
∴1≤x≤2．
不等式的解集为{x|1≤x≤2}．
（2）依题意得 x2﹣3ax+2a2＜0
∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0…
对应方程（x﹣a）（x﹣2a）=0
得 x1=a，x2=2a
当 a=0 时，x∈∅．
当 a＞0 时，a＜2a，∴a＜x＜2a；
当 a＜0 时，a＞2a，∴2a＜x＜a；
综上所述，当 a=0 时，原不等式的解集为∅；
当 a＞0 时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2a}；
当 a＜0 时，原不等式的解集为{x|2a＜x＜a}；
20．在锐角△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 ．
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 b=6，a+c=8，求△ABC 的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由 2bsinA= a，以及正弦定理 ，得 sinB，结合 B 为锐角，即
可得解．
（Ⅱ）由余弦定理可得：a2+c2﹣ac=36，由 a+c=8，解得 ac 的值，根据三角形面积公式即可
得解．
【解答】解：（Ⅰ）由 2bsinA= a，以及正弦定理 ，得 sinB= ，
又∵B 为锐角，
∴B= ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）由余弦定理 b2=a2+c2﹣2accosB，
∴a2+c2﹣ac=36，
∵a+c=8，
∴ac= ，
∴S△ABC= = ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
21．某农户建造一座占地面积为 36m2 的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制，
鸡舍侧面的长度 x 不得超过 7m，墙高为 2m，鸡舍正面的造价为 40 元/m2，鸡舍侧面的造价
为 20 元/m2，地面及其他费用合计为 1800 元．
（1）把鸡舍总造价 y 表示成 x 的函数，并写出该函数的定义域．
（2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）分别算出房子的两个侧面积乘以 20 再加上房子的正面面积乘以 40 再加上屋顶
和地面的造价即为总造价；
（2）我们可以先求房屋总造价的函数解析式，利用基本不等式即可求出函数的最小值，进
而得到答案．
【解答】解：（1） …
= …
定义域是（0，7]…
（2）∵ ，…
当且仅当 即 x=6 时取=…
∴y≥80×12+1800=2760…
答：当侧面长度 x=6 时，总造价最低为 2760 元．…
22．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=1，Sn=nan﹣n（n﹣1）．
（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别求出 an 的表达式；
（2）设数列 的前 n 项和为 Pn，求证：Pn＜ ；
（3）设 Cn= ，Tn=C1+C2+…+Cn，试比较 Tn 与 的大小．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由 Sn=nan﹣n（n﹣1），Sn+1=（n+1）an+1﹣（n+1）n，两式相减整理得：
an+1﹣an=2，{an}是以首项为 a1=1，公差为 2 的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求
得数列{an}通项公式；
（2）由（1）可得 ，利用裂项相消法，
即可求得数列 的前 n 项和为 Pn，Pn= ；
（3） ，由“错位相减法”即可求得
，利用作差法即可求得 ＞0，即可
求得 Tn＞ ．
【解答】解：（1）证明：∵Sn=nan﹣n（n﹣1）
∴Sn+1=（n+1）an+1﹣（n+1）n…
∴an+1=Sn+1﹣Sn=（n+1）an+1﹣nan﹣2n…
∴nan+1﹣nan﹣2n=0
∴an+1﹣an=2，
∴{an}是以首项为 a1=1，公差为 2 的等差数列 …
由等差数列的通项公式可知：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，
数列{an}通项公式 an=2n﹣1；…
（2）证明：由（1）可得 ，
…
= …
（3）∴ ，
= ，
两式相减得 …
= ，
= ，
= ，
= ，
∴ …
∴ …
∵n∈N*，
∴2n＞1，
∴ ，
∴ …
2016 年 12 月 3 日