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- 2021-06-04 发布
高 三 教 学 质 量 监 测
数 学（理科）
注意：本试卷分选择题和非选择题两部分，共 150 分，考试时间 120 分
钟．
1．答卷前，考生填、涂好学校、班级、姓名及座位号。
2．选择题用 2B 铅笔作答；非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上，并将答题卡交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每一小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1.集合 ， ，则
A． B． C． D．以上都不对
2. 复数 z 满足 z(1﹣i)＝|1+i|，则复数 z 的共轭复数在复平面内的对应点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 若 是真命题， 是假命题，则
A． 是真命题 B． 是假命题
C． 是真命题 D． 是真命题
4.在 中，若 ，则
A． B． C． D．
5．下列函数为偶函数的是
A． B． C． D．
6.函数 y=sin(2x+ )•cos(x﹣ )+cos(2x+ )•sin( ﹣x)的图象的一条对称轴方
程是
4| 01
xA x x
− = < +
{ }ln 1B x x= <
A B φ= A B A= A B A=
p q
p q∧ p q∨
p¬ q¬
ABC∆ 15, ,sin4 3b B A
π= ∠ = = a =
3
25
3
35
3
3
5
33
siny x= ( )lny x x2= +1 − xy e= lny x2= +1
3
π
6
π
3
π
6
π
2018.01.24
第16题
y
xa+1aO
ED CB
A
ED CB
A
A．x= B．x= C．x=π D．x=
7.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件，80 件，
60 件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一
个容量为 n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n=
A．9 B．10C．12 D．13
8.设 满足约束条件 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
9.已知 F1（﹣3，0）、F2（3，0）是椭圆 的两个焦点，P 是椭圆上
的点，当 时，△F1PF2 的面积最大，则有
A．m=12，n=3 B．m=24，n=6
C．m=6，n= D．m=12，n=6
10.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问
题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而
长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 分别为
5，2，则输出的 n=
A．2
B．3
C．4
D．5
11．在四面体 S﹣ABC 中，SA⊥平面 ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，
则该四面体的外接球的表面积为
A．11π B． C． D．
12．设函数 的定义域为 ，若满足条件：存在 ，使 在 上
4
π
2
π
2
3π
,x y
2 0
2 3 0
0
x y
x y
x y
− − ≤
− + ≥
+ ≤
4
6
y
x
+
+
[ 4,1]− 3[ 3, ]7
− ( , 3] [1, )−∞ − + ∞ [ 3,1]−
1
2
=+
2
n
y
m
x
3
2=∠ 21
πPFF
2
3
,a b
3
28π
3
10π
3
40π
( )f x D [ , ]a b D⊆ ( )f x [ , ]a b
的值域为 ，则称 为“倍缩函数”．若函数 为“倍缩
函数”，则实数 的取值范围是
A．（﹣∞，ln2﹣1） B．（﹣∞，ln2﹣1]
C．（1﹣ln2，+∞） D．[1﹣ln2，+∞）
第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答，第 22～第 23 题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
13．设向量 ，若向量 与向量 (－3,－3)共线，则 λ=．
14.已知 ，若对任意的 x，都有
，则 ．
15．如图所示，三个直角三角形是一个体积为 20cm3 的
几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积
（单位：cm2）等于．
16．已知函数 ， ，则 的最小值是．
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
已知在数列 中， ， ， .
（1）证明数列 是等差数列，并求 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，证明： .
[ , ]2 2
a b ( )f x tnxxf +1=)(
t
、a )2,1(= )3,2(=b baλ + =c
3n ≥
1 2
0 1( 2) ( 1) ( 1) 135 ( 1) ...n n n n
nx a x a x x a− −+ = − + − + ⋅ − + + ______n =
( ) ( )sin cos sinf x x x x= + x R∈ )(xf
{ }na 1 3a = ( ) 11 1n nn a na ++ − = n N ∗∈
{ }na na
1
1
n na a +
n nT
6
1
1 1P( x ,y ) O OM MP,ON NP⊥ ⊥
1 1
2 2
x y( , )
2 2
2 21 1 1 1
2 2 4
x y x y( x ) ( y )
+− + − =
2 2
1 1 0x y x x y y+ − − =
O
2 2 4
3O : x y + =
1 1
4
3x x y y+ =
0y ,=
1
4
3m x
= 0x =
1
4
3n y
=
1 1
4 4
3 3x ,ym n
= =
2 24 43 43 3( ) ( )m n
+ = 2 2
1 1 3
3 4m n
+ =
1 1 2 2 3 3P( x ,y ),M( x ,y ),N( x ,y ), 2
2
1
PM
OM
xk ,k y
= − = −
2
2 2
2
xy y ( x x ),y
− = − −
2 2
4
3x x y y ,+ =
同理可得直线 PN 的方程为 ---------------⑤------------------10 分
把 P 点的坐标代入④、⑤得
∴直线 MN 的方程为 ，------------------------------------------------------11
分
令 得 ，令 得 ，
∴ ，又点 P 在椭圆 E 上，
∴ ，即 =定
值．---------------------------------------------12 分
21. 解：（1）f′（x）= ………..1 分
由题设 f′（1）=1，∴ ，∴a=0．………..3 分
（2） ，∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），
即 4lnx≤m（3x﹣ ﹣2）………..4 分
设 g（x）=4lnx﹣m（3x﹣ ﹣2），即∀x∈[1，|+∞），g（x）≤0，
∴g′（x）= ﹣m（3+ ）= ，g′（1）=4﹣4m ………..6 分
① 若 m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设 g（x）≤0 矛
盾………..7 分
② 若 m∈（0，1），当 x∈（1， ），g′（x）＞0，g（x）单调递增，g
（x）≥g（1）=0，与题设矛盾．………..9 分
③ 若 m≥1，当 x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1）
3 3
4
3x x y y ,+ =
1 2 1 2
1 3 1 3
4
3
4
3
x x y y
x x y y
+ =
+ =
1 1
4
3x x y y+ =
0y ,=
1
4
3m x
= 0x =
1
4
3n y
=
1 1
4 4
3 3x ,ym n
= =
2 24 43 43 3( ) ( )m n
+ = 2 2
1 1 3
3 4m n
+ =
=0，即不等式成立 ………..11 分
综上所述，m≥1．………..12 分
22.解：（1）根据题意，椭圆 C 的方程为 + =1，
则其参数方程为 ，（α 为参数）；………..1 分
直线 l 的极坐标方程为 ρsin（θ+ ）=3，变形可得 ρsinθcos +ρcosθsin =3，
即 ρsinθ+ ρcosθ=3，………..3 分,将 x=ρcosθ，y=ρsinθ 代入可得 x+y﹣6=0，
即直线 l 的普通方程为 x+y﹣6=0；………..5 分
（2）根据题意，M（x，y）为椭圆一点，则设 M（2cosθ，4sinθ），………..6
分
|2 x+y﹣1|=|4 cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+ ）﹣1|，………..8 分
分析可得，当 sin（θ+ ）=﹣1 时，|2 x+y﹣1|取得最大值 9．…………..10 分
23.解：当 a=2 时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．…..1
分
①x≥2.5 时，不等式可化为 x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥ ；…………..2 分
②2≤x＜2.5，不等式可化为 x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；…………..3 分
④ x＜2，不等式可化为 2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤ ，………………..4 分
综上所述，不等式的解集为（﹣ ] ；………..5 分
（Ⅱ）证明：不等式 f（x）≤4 的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，………..7
分
∴ = （ ）（2s+t）= （10+ + ）≥6，当且仅当 s= ，t=2 时取等
号．..10 分