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- 2021-06-04 发布
专题二 函数
狂刷08 函数与方程
1．函数在区间(0，1)内的零点个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
2．函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
−2
0.625
−0.984
−0.260
0.165
那么方程的一个近似根(精确度0.1)为
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
【答案】C
【解析】由题意知，，所以方程的一个近似根在区间(1.375，1.438)内，所以近似零点为1.4．故选C．
3．若函数有两个零点，则实数的取值范围是
A．(－∞，2) B．(1，2)
C．(2，＋∞) D．(0，2)
【答案】D
【解析】由函数有两个零点，可得有两个不等的根，
从而可得函数与函数的图象有两个交点，结合函数的图象可得，故选D．
4．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，，所以由根的存在性定理可知选C．
5．函数的零点个数为
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】C
6．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
A．y=ln x B．
C．y=sin x D．y=cos x
【答案】D
7．方程的根所在的区间是
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，＋∞)
【答案】C
【解析】要求方程的根所在的区间，即求函数的零点存在区间，因为，，，，由零点存在定理得，函数的零点所在的区间为(2，3)，所以方程的根所在的区间是(2，3)．故选C．
8．函数的零点个数为
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【解析】函数的零点个数等价于方程的根的个数，即函数与的图象交点个数．于是，分别画出其函数图象如下图所示，由图可知，函数与的图象有2个交点．故选C．
9．方程的实根有_______________个．
【答案】2
【解析】画出函数，的图象，如图所示，图象有2个交点，可知方程有2个实根．
10．已知为方程的解，若所在的区间是(n，n＋1)(nZ)，则n的值为_______________．
【答案】1
11．函数的零点的个数为_______________．
【答案】2
【解析】求函数的零点的个数，即求方程的解的个数，也就是求函数的图象与的图象的交点个数．
如图所示，可得的零点的个数为2．
12．已知函数f(x)＝，若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是_______________．
【答案】(−∞，0)∪(1，＋∞)
13．已知函数满足，，且当时，，则方程的所有实数根之和为
A．2 B．3
C．4 D．1
【答案】B
【解析】由可得函数的图象关于对称，由，即，结合解得或，因为函数的图象关于对称，所以方程的所有实数根分别为−2，1，4，其和为3．故选B．
14．已知函数的两个零点是，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，作出函数，的图象如下图所示，
不妨设，则，从而，，因此，．故，所以．故选A．
15．已知定义在R上的函数的对称轴为直线，且当时，
．若函数在区间(，)()上有零点，则的值为
A．1或−8 B．2或−8
C．1或−7 D．2或−7
【答案】D
16．若函数，且函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数有3个不同的零点，等价于与的图象有3个不同的交点，作出函数的图象，如图，由二次函数的知识可知，当时，取得最小值为，函数的图象为平行于x轴的直线，由图象可知当时，两函数的图象有3个不同的交点，即函数有3个不同的零点，故选C．
17．已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数解，则实数k的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题技巧】对于已知函数零点的个数求参数的取值范围的问题，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决．对于此类问题的求解，一般是先分解为两个简单函数，在同一坐标系内作出这两个函数的图象，依交点个数寻找关于参数的不等式，求解即可得结论．
18．若函数满足，当x[−1，0]时，
，若在区间[−1，1)上，有两个零点，则实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为当x[−1，0]时，，所以当x(0，1)时，，由可得，，所以，作出函数在[−1，1)上的图象，如图所示，因为有两个零点，所以的图象与直线有两个交点，由图可得．故选C．
19．若偶函数的图象关于直线对称，且当时，，则函数的零点个数为
A．14 B．16
C．18 D．20
【答案】C
20．设函数，若，，则关于x的方程的解的个数为_______________．
【答案】3
【解析】由题意得 ，解得，即．若，当时，；当时，或，所以的解的个数为3．
21．函数的零点个数为_______________．
【答案】2
【解析】因为，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|图象的交点的个数．函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．
22．若函数在区间[1，]内有唯一的零点，则实数m的取值范围为_____________．
【答案】
23．（2017山东理）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【名师点睛】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
24．（2017天津）已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当，且时，即，即，显然上式不成立，由此可排除选项B、C、D，故选A．
【名师点睛】涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围．本题具有较好的区分度，所给解析采用了排除法，解题步骤比较简捷，口算即可得出答案，解题时能够节省不少时间．当然，本题也可画出函数图象，采用数形结合的方法进行求解．
25．（2015天津理）已知函数，函数，其中bR．若函数恰有4个零点，则b的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
26．（2016天津理）已知函数(a＞0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，f(x)单调递减，必须满足≥0，故0＜a≤，此时函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(x)在R上单调递减，还需，即，所以．
结合函数图象，当x≥0时，函数y＝|f(x)|的图象和直线y＝2−x有且只有一个公共点，即当x≥0时，方程|f(x)|＝2−x只有一个实数解．因此，只需当x＜0时，方程|f(x)|＝2−x恰有一个实数解．
根据已知条件可得，当x＜0时，f(x)＞0，即只需方程f(x)＝2−x恰有一个实数解，即，即在(−∞，0)上恰有唯一的实数解，
判别式，
因为，所以．
当a=时，方程有两个相等的负实根，满足要求．
综上可知，实数a的取值范围是．故选C．
27．（2016山东理）已知函数，其中．若存在实数b，使得关于x的方程有3个不同的根，则实数m的取值范围是_______________．
【答案】(3，＋∞)
【解析】函数的大致图象如图所示，根据题意知只要即可，又m＞0，解得m＞3，故实数m的取值范围是(3，＋∞)．