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- 2021-06-04 发布
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山东省德州市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分析：化简集合，利用并集的定义可得结果.
详解：因为 ，
集合，所以，故选B.
点睛：本题主要考查集合的基本运算，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.
2．命题的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以：，故选B.
考点：1.全称命题；2.特称命题.
3．已知，则复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：利用复数的乘法法则化简复数，再利用共轭复数的定义求解即.
详解：因为，
所以，
，故选A.
点睛：本题主要考查的是复数的乘法、共轭复数的定义，属于中档题．解答复数运算问题时一定要注意和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误.
4．已知函数定义域是，记函数，则的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由函数定义域是，求出函数函数定义域是，然后利用对数函数的定义域及分母不等于零可得结果.
详解：因为函数定义域是，
所以，
即函数定义域是，
由结合且 ，
可得的定义域是，故选C.
点睛：本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.
5．用反证法证明命题“已知函数在上单调，则在上至多有一个零点”时，要做的假设是（ ）
A. 在上没有零点 B. 在上至少有一个零点
C. 在上恰好有两个零点 D. 在上至少有两个零点
【答案】D
【解析】分析：利用反证法证明，假设一定是原命题的完全否定，从而可得结果.
详解： 因为“至多有一个”的否定是“至少有两个”，
所以用反证法证明命题“已知函数在上单调，则在上至多有一个零点”时，要做的假设是在上至少有两个零点，故选D.
点睛：反证法的适用范围是，（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．
6．已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：化简 ， ，利用对数函数的性质可得结果.
详解：因为 ， ，
化简,
所以，故选A.
点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
7．已知曲线在点处的切线平行于直线，那么点的坐标为（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】分析：设的坐标为，则，求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得的方程，求得的值从而可得结果.
详解：设的坐标为，则，
的导数为，
在点处的切线斜率为，
由切线平行于直线，
可得，解得，
即有或，故选B.
点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题.
8．某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如表
玩手机
不玩手机
合计
学习成绩优秀
4
8
12
学习成绩不优秀
16
2
18
合计
20
10
30
经计算的值，则有（ ）的把握认为玩手机对学习有影响．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：利用公式求得观测值，对照数表，即可得出正确的结论.
详解：根据列联表可得，
,
对照数表知，有的把握认为玩手机对学习有影响，故选C.
点睛：本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题目. 独立性检验的一般步骤：（1
）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.
9．已知函数，则的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分析：时函数的函数值恒小于零，即可排除，由时的为正能排除，从而可得结果.
详解：设，
则，
在上为增函数，
时
，
，排除，
得又，排除，故选B.
点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.
这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
10．已知函数关于直线对称且任意，，有，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由函数关于直线对称可得函数为偶函数，由可得函数在区间上为减函数，从而可得，进而可得结果.
详解：根据题意，定义在上的函数的图象关于直线对称，
则函数的图象关于轴对称，
即函数为偶函数，
若对任意的，
都有，
则函数在区间上为减函数，
等价于
即的取值范围是，故选C.
点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
11．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A. 在上是增函数
B. 在上是减函数
C. 在上是增函数
D. 在时，取极大值
【答案】C
【解析】分析：根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果.
详解：根据导函数图象可知，
在上先减后增，错；
在上先增后减，错；
在上是增函数，对；
在时，取极小值，错，故选C.
点睛：本题考查函数的单调性与导函数的关系，意在考查对基本性质掌握的熟练程度以及数形结合思想的应用，属于中档题.
12．已知函数，则方程在内方程的根的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】分析：令，则，由图象可得，利用数形结合可得结果.
详解：
画出函数图象，如图，
令，则，
由图象可得，
由时，与有两个交点，有两个根.
由时，由图象可得与有一个交点，有一个根.
综上，方程在内方程的根的个数是，故选D.
点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、填空题
13．已知幂函数，当时为增函数，则__________．
【答案】1
【解析】分析：利用幂函数的定义列出方程求出的值，将的值代入函数解析式检验函数的单调性即可得结果.
详解：是幂函数，
，解得或，
当时，，不满足在上为增函数，
当时，，满足在上为增函数，故答案为.
点睛：本题考查幂函数的定义，、幂函数的单调性，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
14．甲、乙、丙三位同学被问到是参加了学校组织的、、三个活动兴趣小组时，
甲说：我参加的兴趣小组比乙多，但没参加过兴趣小组；
乙说：我没参加过兴趣小组；
丙说：我们三人参加了同一兴趣小组；
由此可判断乙参加的兴趣小组为__________．
【答案】
【解析】分析：先判断乙只能参加一个小组，根据甲不参加，乙不参加，以及三人参加了同一兴趣小组，从而可得结论.
详解：甲参加的兴趣小组比乙多，
甲至少参加两个，乙只能参加一个小组，
又甲不参加，甲只能参加或，
又三人参加了同一小组，乙不参加，
三人共同参加的小组只有，
而乙只能参加一个小组，
乙参加的小组是，故答案为.
点睛：本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.
15．函数，若，则的值为__________．
【答案】0或1
【解析】分析：讨论当时，；当时，，分别列方程求解即可.
详解： ，，
当时，；
当时，，
或，
解得或，故答案为或.
点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求参数，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
16．对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.下列函数为2倍值函数的是__________（填上所有正确的序号）．
① ②
③ ④
【答案】①②④
【解析】分析：为倍值函数等价于，的图象与有两个交点，且在上递增，由此逐一判断所给函数是否符合题意即可.
详解：为倍值函数等价于，的图象与有两个交点，
且在上递增：
对于①，与，有两个交点，
在上递增，值域为，①符合题意.
对于②，与，有两个交点，
在上递增，值域为，②符合题意.
对于③，与，没有交点，不存在，
，值域为，③不合题意.
对于④，与两个交点，
在上递增，值域为，④合题意，故答案为①②④.
点睛：本题考查函数的单调性以及函数的图象与性质、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
评卷人
得分
三、解答题
17．已知，，为实数.
（1）若，求；
（2）若，求实数，的值.
【答案】（1）；（2）-3，2
【解析】分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将，化为
，由复数相等的性质可得，从而可得结果.
详解：（1）∵，∴.
∴ ，
∴；
（2）∵，
∴
.
∴，
解得，
∴，的值为：-3，2.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分
18．已知集合，，命题：，命题：.
（1）当时，若是的必要条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】分析：（1）根据一元二次不等式的解法化简集合集合与集合，求得，利用包含关系列不等式求解即可；（2）先求得，结合，根据包含关系，利用分类讨论思想，列不等式求解即可.
详解：（1）由，
当时，，
∴：或，∵是的必要条件，
即是的子集，则，∴.
（2），，，
①时，即，此时舍；
②时，即，，满足；
③时，即，需，即，此时.
综上，.
点睛：本题主要考查集合的基本运算、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
19．已知函数.
（1）若在处取得极值，求的单调递减区间；
（2）若在区间内有极大值和极小值，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】分析：（1）由，可得，利用，即，可得，从而可得结果；（2）在内有极大值和极小值，等价于
在内有两不等实根，结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可.
详解：，
（1）∵在处取得极值，
∴，∴，∴，
∴，令，则，
∴，
∴函数的单调递减区间为.
（2）∵在内有极大值和极小值，
∴在内有两不等实根，对称轴，
∴，
即 ，
∴.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.
20．为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，某边远山区每户居民月用电量划分为三档：月用电量不超过150度，按0.6元/度收费，超过150度但不超过250度的部分每度加价0.1元，超过250度的部分每度再加价0.3元收费.
（1）求该边远山区某户居民月用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；
（2）已知该边远山区贫困户的月用电量（单位：度）与该户长期居住的人口数（单位：人）间近似地满足线性相关关系：（的值精确到整数），其数据如表：
14
15
17
18
161
168
191
200
现政府为减轻贫困家庭的经济负担，计划对该边远山区的贫困家庭进行一定的经济补偿，给出两种补偿方案供选择：一是根据该家庭人数，每人每户月补偿6元；二是根据用电量每人每月补偿（为用电量）元，请根据家庭人数分析，一个贫困家庭选择哪种补偿方式可以获得更多的补偿？
附：回归直线中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，.
参考数据：，，，，，，，，.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】分析：（1）由电价分三个“阶梯”，利用分段函数求出解析式即可；（2）先利用最小二乘法求出回归方程，第一种方案人每月补偿元，第二种方案人每月补偿为
，由，令，解得，从而可得结果.
详解：（1）当时，，
当时，，
当时，，
∴关于的解析式为.
（2）由，，，，
所以回归直线方程为.
第一种方案人每月补偿元，第二种方案人每月补偿为
，由，
令，解得，
∴当人数不超过5人时，选择第二种补偿方式可获得更多补偿；当人数超过5人时，选择第一种补偿方式可获得更多补偿.
点睛：本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，最小二乘法求回归方程，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏.
21．已知函数在点处的切线与直线垂直.
（1）求函数的极值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）极大值为，函数无极小值；（2）
【解析】分析：（1）由函数在点处的切线与直线垂直，利用导数的几何意义求得，利用导数研究函数的单调性，从而可得函数的极值；（2）在上恒成立，等价于在上恒成立，令，利用导数可得当时，在上是增函数，，故当时，，再证明当时不合题意即可.
详解：（1）函数的定义域为，，
所以函数在点处的切线的斜率.
∵该切线与直线垂直，所以，解得.
∴， ，
令，解得.
显然当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
∴函数的极大值为，函数无极小值.
（2）在上恒成立，等价于在上恒成立，
令，则，
令，则在上为增函数，即，
①当时，，即，则在上是增函数，
∴，故当时，在上恒成立.
②当时，令，得，
当时，，则在上单调递减，，
因此当时，在上不恒成立，
综上，实数的取值范围是.
点睛：
本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，求的最小值.
【答案】（1），；（2）
【解析】分析：（1）将参数方程利用代入法消去参数可得直线的普通方程，利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）先证明直线过定点，点在圆的内部.当直线与线段垂直时，取得最小值，利用勾股定理可得结果..
详解：（1）将（为参数，）消去参数，
得直线，，即.
将代入，得，
即曲线的直角坐标方程为.
（2）设直线的普通方程为，其中，又，
∴，则直线过定点，
∵圆的圆心，半径，，
故点在圆的内部.
当直线与线段垂直时，取得最小值，
∴.
点睛：本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及勾股定理求圆的弦长，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.
23．已知函数，.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）已知，若使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）
【解析】分析：（1）由，可得若恒成立，只需，从而可得结果；（2）使成立等价于，成立，利用基本不等式求出的最小值为，从而可得结果.
详解：（1）∵，若恒成立，需，
即或，
解得或.
（2）∵，∴当时，，
∴，即，成立，
由，
∵，∴（当且仅当等号成立），
∴.
又知，∴的取值范围是.
点睛：本题主要考基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得 的最大值.