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- 2021-06-04 发布
专题05+函数的单调性与最值
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是( )．
A．y＝x2 B．y＝|x|＋1
C．y＝－lg|x| D．y＝2|x|
【解析】 对于C中函数，当x>0时，y＝－lgx，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg |x|为偶函数．
【答案】 C
2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)＜f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【答案】 D
3．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
【解析】 ∵y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－<0，
∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．
【答案】B
4．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是 ( )．
A．(－∞，0] B．[0,1)
C．[1，＋∞) D．[－1,0]
【解析】 g(x)＝如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.
【答案】 B
5．函数y＝－x2＋2x－3(x＜0)的单调增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1]
C．(－∞，0) D．(－∞，－1]
【答案】 C
6．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间 为 ( )．
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
【解析】 f(x)＝⇔
f(x)＝
f(x)的图象如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．
【答案】 C
7．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)＝________.
【解析】 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1.
当－2≤a<1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.
综上，g(a)＝
【答案】
8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是_______．
【解析】y＝－(x－3)|x|
＝
作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.
【答案】
9．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是________．
【答案】
10．已知函数f(x)＝(a是常数且a>0)．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是－1；
②函数f(x)在R上是单调函数；
③若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围是a>1；
④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有
f<.
其中正确命题的序号是____________．
【解析】 根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)>0在上恒成立，则2a×－1>0，a>1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<成立，故④正确．
【答案】 ①③④
11．求函数y＝a1－x2(a>0且a≠1)的单调区间．
解 当a>1时，函数y＝a1－x2在区间[0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0]上是增函数；
当00恒成立，则a≤16.
13．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
解 (1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.
(i)当a<0，b>0时，x>－，
解得x>log；
(ii)当a>0，b<0时，x<－，
解得x0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.