专题14 两角和与差的三角函数-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍 20页

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式； 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式； 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式， 了解它们的内在联系； 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求 记忆). 热点题型一 三角函数式的化简、求值 例 1、 (1)化简：（1＋sin α＋cos α）· cos α 2 －sin α 2 2＋2cos α (0＜α＜π)＝________. (2)计算：1＋cos 20° 2sin 20° －sin 10° 1 tan 5° －tan 5° ＝________. 解析 (1)原式＝ 2cos2α 2 ＋2sinα 2 cos α 2 · cosα 2 －sin α 2 4cos2α 2 ＝ cosα 2 cos2α 2 －sin2α 2 |cos α 2 | ＝ cos α 2 cos α |cos α 2 | . 因为 0＜α＜π，所以 0＜α 2 ＜π 2 ，所以 cosα 2 ＞0， 所以原式＝cosα. (2)原式＝ 2cos210° 4sin 10°cos 10° －sin 10°·cos25°－sin25° sin 5°cos 5° ＝ cos 10° 2sin 10° －sin 20° sin 10° ＝cos 10°－2sin 20° 2sin 10° ＝cos 10°－2sin（30°－10°） 2sin 10° ＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10° 2sin 10° ＝ 3 2 . 答案 (1)cosα (2) 3 2 【提分秘籍】 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则： 一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的 公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根 式一般要升幂”等. (2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角.另外此类问题也 常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值. 【举一反三】 (1)化简： 2cos4x－2cos2x＋1 2 2tan π 4 －x sin2 π 4 ＋x ＝________. (2)已知 sin α＝1 2 ＋cosα，且α∈ 0，π 2 ，则 cos 2α sin α－π 4 的值为________. (2)法一 ∵sin α＝1 2 ＋cosα，∴sin α－cosα＝1 2 ， ∴ 2sin α－π 4 ＝1 2 ，∴sin α－π 4 ＝ 2 4 . 又∵α∈ 0，π 2 ，∴α－π 4 ∈ －π 4 ，π 4 ， ∴cos α－π 4 ＝ 14 4 ， ∴cos 2α＝－sin 2 α－π 4 ＝－2sin α－π 4 · cos α－π 4 ＝－2× 2 4 × 14 4 ＝－ 7 4 ， ∴ cos 2α sin α－π 4 ＝ － 7 4 2 4 ＝－ 14 2 . 热点题型二 三角函数的给值求值、给值求角 例 2、(1)已知 0<β<π 2 <α<π，且 cos α－β 2 ＝－1 9 ，sin α 2 －β ＝2 3 ，求 cos(α＋β)的值. (2)已知α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝1 2 ，tan β＝－1 7 ，求 2α－β的值. 【解析】(1)∵0<β<π 2 <α<π， ∴π 4 <α－β 2 <π，－π 4 <α 2 －β<π 2 ， ∴sin α－β 2 ＝ 1－cos2 α－β 2 ＝4 5 9 ， cos α 2 －β ＝ 1－sin2 α 2 －β ＝ 5 3 ， ∴cosα＋β 2 ＝cos α－β 2 － α 2 －β ＝cos α－β 2 cos α 2 －β ＋sin α－β 2 sin α 2 －β ＝ －1 9 × 5 3 ＋4 5 9 ×2 3 ＝7 5 27 ， ∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β 2 －1＝2×49×5 729 －1＝－239 729 . (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ tan（α－β）＋tan β 1－tan（α－β）tan β ＝ 1 2 －1 7 1＋1 2 ×1 7 ＝1 3 >0，又α∈(0，π). ∴0<α<π 2 ，又∵tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α ＝ 2×1 3 1－ 1 3 2 ＝3 4 >0， ∴0<2α<π 2 ， ∴tan(2α－β)＝ tan 2α－tan β 1＋tan 2αtan β ＝ 3 4 ＋1 7 1－3 4 ×1 7 ＝1. ∵tan β＝－1 7 <0，∴π 2 <β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π 4 . 【提分秘籍】 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示：①当“已知角”有两个时，“所 求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角” 与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. (2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β， β＝α＋β 2 －α－β 2 ，α＝α＋β 2 ＋α－β 2 ，α－β 2 ＝ α＋β 2 － α 2 ＋β 等. (3)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 0，π 2 ，选正、余弦皆可；若角的范围是(0， π)，选余弦较好；若角的范围为 －π 2 ，π 2 ，选正弦较好. 【举一反三】 已知 cosα＝1 7 ，cos(α－β)＝13 14 0<β<α<π 2 . (1)求 tan 2α的值； (2)求β的值. 【解析】(1)∵cosα＝1 7 ，0<α<π 2 ， ∴sin α＝4 3 7 ，∴tan α＝4 3， ∴tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α ＝2×4 3 1－48 ＝－8 3 47 . (2)∵0<β<α<π 2 ，∴0<α－β<π 2 ， ∴sin(α－β)＝3 3 14 ， ∴cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1 7 ×13 14 ＋4 3 7 ×3 3 14 ＝1 2 . ∴β＝π 3 . 热点题型三 三角变换的简单应用 例 3．已知 f(x)＝ 1＋ 1 tan x sin2x－2sin x＋π 4 ·sin x－π 4 . (1)若 tan α＝2，求 f(α)的值； (2)若 x∈ π 12 ，π 2 ，求 f(x)的取值范围. (2)由(1)得 f(x)＝1 2 (sin 2x＋cos 2x)＋1 2 ＝ 2 2 sin 2x＋π 4 ＋1 2 . 由 x∈ π 12 ，π 2 ，得5π 12 ≤2x＋π 4 ≤5π 4 . ∴－ 2 2 ≤sin 2x＋π 4 ≤1，0≤f(x)≤ 2＋1 2 ， 所以 f(x)的取值范围是 0， 2＋1 2 . 【提分秘籍】 解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个， 一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍 角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等. 【举一反三】 已知△ABC 为锐角三角形，若向量 p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量 q＝(sin A－cos A，1＋sin A) 是共线向量. (1)求角 A； (2)求函数 y＝2sin2B＋cos C－3B 2 的最大值. 【解析】(1)因为 p，q 共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cosA＋ sin A)(sin A－cosA)，则 sin2A＝3 4 . 又 A 为锐角，所以 sin A＝ 3 2 ，则 A＝π 3 . 1.【2017 江苏，5】 若 π 1tan( ) ,4 6    则 tan  ▲ . 【答案】 7 5 【解析】 1 1tan( ) tan 764 4tan tan[( ) ] 14 4 51 tan( )tan 14 4 6                  ．故答案为 7 5 ． 2.【2017 北京，理 12】在平面直角坐标系 xOy 中，角α与角β均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称. 若 1sin 3   ， cos( )  =___________. 【答案】 7 9  【解析】因为 和  关于 y 轴对称，所以 2 ,k k Z       ，那么 1sin sin 3    ， 2 2cos cos 3     （或 2 2cos cos 3     ）， 所以   2 2 2 7cos cos cos sin sin cos sin 2sin 1 9                   . 1.【2016 高考新课标 3 理数】在 ABC△ 中， π 4B = ， BC 边上的高等于 1 3 BC ,则 cos A= （ ） （A） 3 10 10 （B） 10 10 （C） 10 10- （D） 3 10 10- 【答案】C 2.【2016 高考新课标 2 理数】若 3cos( )4 5    ，则 sin 2  （ ） （A） 7 25 （B） 1 5 （C） 1 5  （D） 7 25  【答案】D 【解析】 2 2 3 7cos 2 2cos 1 2 14 4 5 25                              ， 且 cos 2 cos 2 sin 24 2                    ，故选 D. 3.【2016 高考新课标 3 理数】若 3tan 4   ，则 2cos 2sin 2   （ ） (A) 64 25 (B) 48 25 (C) 1 (D) 16 25 【答案】A 【解析】 由 3tan 4   ，得 3 4sin ,cos5 5    或 3 4sin ,cos5 5      ，所以 2 16 12 64cos 2sin 2 425 25 25       ，故选 A． 4.【2016 年高考四川理数】 2 2cos sin8 8 π π = . 【答案】 2 2 【解析】由二倍角公式得 2 2cos sin8 8    2cos .4 2  【2015 江苏高考，8】已知 tan 2   ，   1tan 7    ，则 tan  的值为_______. 【答案】3 【解析】 1 2tan( ) tan 7tan tan( ) 3.21 tan( )tan 1 7                   【2015 高考福建，理 19】已知函数 f( )x 的图像是由函数 ( ) cosg x x= 的图像经如下变换得到：先将 ( )g x 图 像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移 2 p 个单位长度. (Ⅰ)求函数f( )x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于 x 的方程 f( ) g( )x x m+ = 在[0,2 )p 内有两个不同的解 ,a b ． （1)求实数 m 的取值范围； （2)证明： 22cos ) 1.5 ma b- = -( 【答案】(Ⅰ) f( ) 2sinx x= ， (k Z).2x k pp= + Î ；(Ⅱ)（1） ( 5, 5)- ；（2）详见解析． 【解析】解法一：(1)将 ( ) cosg x x= 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）得到 y 2cos x= 的图像，再将 y 2cos x= 的图像向右平移 2 p 个单位长度后得到 y 2cos( )2x p= - 的图像，故 f( ) 2sinx x= ，从而函数 f( ) 2sinx x= 图像的对称轴方程为 (k Z).2x k pp= + Î (2)1) 2 1f( ) g( ) 2sin cos 5( sin cos ) 5 5 x x x x x x+ = + = + 5 sin( )x j= + （其中 1 2sin ,cos 5 5 j j= = ） 依题意， sin( )= 5 mx j+ 在区间[0,2 )p 内有两个不同的解 ,a b 当且仅当| | 1 5 m < ，故 m 的取值范围是 ( 5, 5)- . 解法二：(1)同解法一. (2)1) 同解法一. 2) 因为 ,a b 是方程 5 sin( )=mx j+ 在区间[0,2 )p 内有两个不同的解， 所以 sin( )= 5 ma j+ ，sin( )= 5 mb j+ . 当1 m< 5£ 时， + =2( ), + ( );2 pa b j a j p b j- = - +即 当 50，－π 2 ≤φ<π 2 的图像关于直线 x＝π 3 对称，且图 像上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值； (2)若 f α 2 ＝ 3 4 π 6 <α<2π 3 ，求 cos α＋3π 2 的值． (2)由(1)得ƒ α 2 ＝ 3sin(2×α 2 －π 6 )＝ 3 4 ， 所以 sin α－π 6 ＝1 4 . 由π 6 ＜α＜2π 3 得 0＜α－π 6 ＜π 2 ， 所以 cos α－π 6 ＝ 1－sin2 α－π 6 ＝ 1－ 1 4 2 ＝ 15 4 . 因此 cos α＋3π 2 ＝sin α ＝sin （α－π 6 ）＋π 6 ＝sin α－π 6 cosπ 6 ＋cos α－π 6 sinπ 6 ＝1 4 × 3 2 ＋ 15 4 ×1 2 ＝ 3＋ 15 8 . 1.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A.－1 B.0 C.1 D.2 解析 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2. 答案 D 2.设 a＝1 2 cos 2°－ 3 2 sin 2°，b＝ 2tan 14° 1－tan214° ，c＝ 1－cos 50° 2 ，则有( ) A.a＜c＜b B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 解析 由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°， ∴c＜a＜b. 答案 D 3.已知 sin x＋ 3 cos x＝6 5 ，则 cos π 6 －x ＝( ) A.－3 5 B.3 5 C.－4 5 D.4 5 解析 sin x＋ 3 cos x＝2 1 2 sin x＋ 3 2 cos x ＝2 sin π 6 sin x＋cos π 6 cos x ＝2cos π 6 －x ＝6 5 ，∴cos π 6 －x ＝3 5 . 答案 B 4.若 sin α－π 4 ＝－cos 2α，则 sin 2α的值可以为( ) A.－1 2 或 1 B.1 2 C.3 4 D.－3 4 解析 法一 由已知得 2 2 (sin α－cos α)＝sin2α－cos2α，∴sin α＋cos α＝ 2 2 或 sin α－cos α ＝0，解得 sin 2α＝－1 2 或 1. 法二 由已知得 sin α－π 4 ＝sin 2α－π 2 ＝2sin α－π 4 · cos α－π 4 ，∴cos α－π 4 ＝1 2 或 sin α－π 4 ＝0， 则 sin 2α＝cos 2 α－π 4 ＝2cos2 α－π 4 －1 ＝2×1 4 －1＝－1 2 或 sin 2α＝1. 答案 A 5.已知 f(x)＝2tan x－ 2sin2x 2 －1 sin x 2 cos x 2 ，则 f π 12 的值为________. 解析 ∵f(x)＝2tan x＋2cos x sin x ＝2 sin x cos x ＋cos x sin x ＝ 2 cos xsin x ＝ 4 sin 2x ，∴f π 12 ＝ 4 sinπ 6 ＝8. 答案 8 6.设θ为第二象限角，若 tan θ＋π 4 ＝1 2 ，则 sin θ＋cos θ＝________. 解析 tan θ＋π 4 ＝1＋tan θ 1－tan θ ＝1 2 ，解得 tan θ＝－1 3 . 由 sin θ＝－1 3 cos θ， sin2θ＋cos2θ＝1， 得 sin θ＝ 10 10 ，cos θ＝－3 10 10 ， ∴sin θ＋cos θ＝－ 10 5 . 答案 － 10 5 7.已知θ∈ 0，π 2 ，且 sin θ－π 4 ＝ 2 10 ，则 tan 2θ＝________. 8.已知α∈ π 2 ，π ，sin α＝ 5 5 . (1)求 sin π 4 ＋α 的值； (2)求 cos 5π 6 －2α 的值. 解 (1)因为α∈ π 2 ，π ，sin α＝ 5 5 ， 所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－2 5 5 . 故 sin π 4 ＋α ＝sin π 4 cos α＋cos π 4 sin α＝ 2 2 × －2 5 5 ＋ 2 2 × 5 5 ＝－ 10 10 . (2)由(1)知 sin 2α＝2sin αcos α＝2× 5 5 × －2 5 5 ＝－4 5 ， cos 2α＝1－2sin2α＝1－2× 5 5 2 ＝3 5 ， 所以 cos 5π 6 －2α ＝cos 5π 6 cos 2α＋sin 5π 6 sin 2α＝ － 3 2 ×3 5 ＋1 2 × －4 5 ＝ －4＋3 3 10 . 9.已知 cos π 6 ＋α ·cos π 3 －α ＝－1 4 ，α∈ π 3 ，π 2 . (1)求 sin 2α的值； (2)求 tan α－ 1 tan α 的值. 解 (1)cos π 6 ＋α ·cos π 3 －α ＝cos π 6 ＋α ·sin π 6 ＋α ＝1 2 sin 2α＋π 3 ＝－1 4 ， 即 sin 2α＋π 3 ＝－1 2 .∵α∈ π 3 ，π 2 ，∴2α＋π 3 ∈ π，4π 3 ， ∴cos 2α＋π 3 ＝－ 3 2 ∴sin 2α＝sin 2α＋π 3 －π 3 ＝sin 2α＋π 3 cosπ 3 －cos 2α＋π 3 sinπ 3 ＝1 2 . (2)∵α∈ π 3 ，π 2 ，∴2α∈ 2π 3 ，π ， 又由(1)知 sin 2α＝1 2 ，∴cos 2α＝－ 3 2 . ∴tan α－ 1 tan α ＝sin α cos α －cos α sin α ＝sin2α－cos2α sin αcos α ＝－2cos 2α sin 2α ＝－2× － 3 2 1 2 ＝2 3. 10.已知 sin α＝ 5 5 ，sin(α－β)＝－ 10 10 ，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π 12 B.π 3 C.π 4 D.π 6 解析 ∵α，β均为锐角，∴－π 2 <α－β<π 2 . 又 sin(α－β)＝－ 10 10 ，∴cos(α－β)＝3 10 10 . 又 sin α＝ 5 5 ，∴cos α＝2 5 5 ， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝ 5 5 ×3 10 10 －2 5 5 × － 10 10 ＝ 2 2 .∴β＝π 4 . 答案 C 11.已知 tan α＋π 4 ＝1 2 ，且－π 2 <α<0，则 2sin2α＋sin 2α cos α－π 4 等于( ) A.－2 5 5 B.－3 5 10 C.－3 10 10 D.2 5 5 12.已知 cos4α－sin4α＝2 3 ，且α∈ 0，π 2 ，则 cos 2α＋π 3 ＝________. 解析 ∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝2 3 ， 又α∈ 0，π 2 ，∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝ 1－cos22α＝ 5 3 ， ∴cos 2α＋π 3 ＝1 2 cos 2α－ 3 2 sin 2α＝1 2 ×2 3 － 3 2 × 5 3 ＝2－ 15 6 . 答案 2－ 15 6 13.已知函数 f(x)＝cos x·sin x＋π 3 － 3cos2x＋ 3 4 ，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在闭区间 －π 4 ，π 4 上的最大值和最小值. 解析：(1)由已知，有 f(x)＝cos x· 1 2 sin x＋ 3 2 cos x － 3cos2x＋ 3 4 ＝1 2 sin x·cos x－ 3 2 cos2x＋ 3 4 ＝ 1 4 sin 2x－ 3 4 (1＋cos 2x)＋ 3 4 ＝1 4 sin 2x－ 3 4 cos 2x＝1 2 sin 2x－π 3 . 所以，f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)因为 f(x)在区间 －π 4 ，－π 12 上是减函数，在区间 －π 12 ，π 4 上是增函数. f －π 4 ＝－1 4 ，f －π 12 ＝－1 2 ，f π 4 ＝1 4 . 所以，函数 f(x)在闭区间 －π 4 ，π 4 上的最大值为1 4 ，最小值为－1 2 .