数学理卷·2018届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末考试扫描版含解析 13页

‎2017－2018学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题答案 数 学（A）‎ 一、选择题：‎ CCDAA CBABD AB 二、填空题：‎ ‎13. 2 14. 15. ①④ 16. 三、解答题：‎ ‎ 17．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为， ，所以为首项是1，公差为2的等差数列，‎ 所以 …………………………2分 又当时， ，所以，当时， …① …②‎ 由①-②得，即， …………………………4分 所以是首项为1，公比为的等比数列，故. ……………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则 ①‎ ②‎ ‎①-②得 …………………………8分 …………………………10分 所以 …………………………12分 ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分） ‎ ‎【解析】（Ⅰ）由列联表可知的观测值 ，…………‎ ‎3分 所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.‎ ‎ …………4分 ‎（Ⅱ）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），‎ 偶尔或不用网络外卖的有（人）.　 …………………………6分 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.………………8分 ‎②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的概率为， ……9分 将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.‎ 由题意得， …………………………10分 ‎∴； . ……………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）在图1中， 可得， 从而，‎ 故.‎ 又面 面，面 面 ， ， ‎ ‎∴平面. …………………………………4分 ‎（Ⅱ）连结OM,则OM∥BC, ∴OA,OM,OD两两垂直，‎ 以O为原点，OA,OM,OD所在直线分别为x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系如图所示 ……………………5分 则， ， ，‎ ‎ ，.‎ 设为面的法向量，则即， 解得. 令， 可得.…………8分 又为面的一个法向量，∴.‎ ‎∴二面角的余弦值为. ………………………………12分 ‎（法二）如图，取的中点， 的中点，连结.‎ 易知，又， ，又， .‎ 又为的中位线，因， ， ，且都在面内，故，‎ 故即为二面角的平面角. ……………8分 在中，易知；‎ 在中，易知， .‎ 在中.‎ 故.∴二面角的余弦值为. …………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】‎ 圆的方程可化为： ，故圆心，半径，‎ 而，所以点在圆内.又由已知得圆的半径，‎ 由圆与圆内切可得，圆内切于圆，即，‎ 所以， ………………2分 故点的轨迹，即曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆.‎ 显然，所以，故曲线的方程为 ………………4分 ‎（Ⅱ）设，当直线的斜率存在时，设直线，‎ 代入得：， 恒成立.‎ 由根与系数的关系可得，， ………………6分 设直线的斜率分别为，则由得，‎ = ‎==0. ………………………………8分 ‎∴，将代入得，即故存在满足题意. ……………………10分 当直线的斜率不存在时，直线为=1，满足，符合题意。 ‎ 综上，在轴上存在一点，使得轴平分. ……………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由可知，函数的定义域为，‎ 且.‎ 因为，所以.‎ 当或时， ；当时， ，‎ 所以的单调递增区间为和. …………………………………3分 ‎（Ⅱ）当时， .所以，当变化时， 的变化情况如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 取极大值 单调递减 取极小值 单调递增 所以极大值，‎ 极小值. …………………………………5分 又， 所以若函数有三个不同的零点，‎ 则. …………………………………6分 ‎（Ⅲ）由题意，当时， ，‎ 则在点处切线的斜率.所以 .‎ 令，‎ 则， .‎ ‎ ………………………………7分 ‎①当时， 在上单调递减，所以当时， .从而有时， ； ………………………8分 ‎②当时， 在上单调递减，所以当时， .从而有时， ；‎ 所以在上不存在“类对称点”.………………………………10分 ‎③当时， ，所以在上是增函数，故.‎ 所以是一个类对称点的横坐标. ………………………………12分 ‎22．（本小题满分10分）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）根据曲线的参数方程，其中为参数，且，‎ 得曲线C的普通方程为： ， …………………3分 所以，曲线的极坐标方程为： ， . ……………………5分 （Ⅱ）由题得， ………………………7分 所以令， ，则解得.‎ 故点的极坐标为. ………………………10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ），由条件得，‎ 得，（m>0） ……………………3分 所以. ………………………5分 ‎（Ⅱ）原不等式等价于，‎ 而， ………………………7分 所以，则，当且仅当时取得. ……………10分