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- 2021-06-04 发布
姜堰二中2018-2019学年度第一学期期中考试
高 二 数 学 试 题(文)2018.11.12
命题人：凌舜明
（考试时间：120分钟 满分：160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．
1． 设复数（为虚数单位），则的共轭复数为 ▲ ．
2．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．
3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，则应从丁专业抽取的学生人数为 ▲ ．
4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为
▲ ．
5．已知物体运动的方程为，则t=2时的瞬时速度为 ▲ ．
6．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.
7．某圆锥的侧面展开图是面积为且圆心角为的扇形，此圆锥的体积为 ▲ ．
8．在上随机地取一个数，则事件“直线与有公共点”发生的概率为 ▲ ．
9． 在平面直角坐标系中，双曲线
的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 ▲ ．
10． 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是 ▲ ．
11．已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若是的中点，则的长度为 ▲ ．
12．若函数在x=1处取得极小值，则实数a的取值范围是
▲ ．
13．圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是 ▲ ．
14．已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．
求证：（1）A1C⊥BD；
（2）平面AB1D1∥平面BC1D．
16．（本小题满分14分）
已知函数
（1）当a=1时，求曲线在点（1, f(1)）处的切线方程；
（2）若函数只有一个零点，求a的取值范围.
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点，．
（1）若直线平行于，与圆相交于，两点，，求直线的方程；
（2）在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．
18．（本小题满分16分）
已知函数，，.
（1）若曲线与直线相切且相切于点，求切点P坐标及实数的值；
（2）记，求在上的最大值；
19．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点O
x
y
A
B
P
E
F
（第18题）
．设为椭圆在第一象限上的点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，且交轴于点，交轴于点．
（1）求的值；
（2）若为椭圆的右焦点，求点的坐标；
（3）求证：四边形的面积为定值．
20．（本小题满分16分）
设椭圆C：的离心率，直线与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆D，若圆D与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABD的面积；
（3）如图，A1，A2，B1，B2是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E，设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m﹣k为定值．
高二数学期中考试参考答案
1． 【解析】由于，所以的共轭复数为．
2．150【解析】设第一个小矩形面积为，由，得，从而样本容量为．
3． 解析：由题意可得：甲、乙、丙、丁四个专业人数之比为，所以100名学生中丁专业抽取人数为人.
4．16
5．
6．
7．
8．
9．【解析】一条渐近线与右准线的交点为，其到另一条渐近线的距离为．
10．
11．如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于点，所以，，所以．
12．a>1
13．或
14．
15．（1）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则有DB⊥AC，DB⊥AA1，
且AA1∩AC=A，∴DB⊥面AA1C1C，
∵A1C面AA1C1C，
∴A1C⊥BD；…………………7分
（2）∵∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1，
又∵DB∥B1D1，AD1面AD1B1，B1D1面AD1B1，
BD面DBC1，BC1面DBC1，且AD1 ∩D1B1=D1．
∴平面AB1D1∥平面BC1D．…………………7分
17．（1）圆的标准方程为，所以圆心，半径为．
因为，，，所以直线的斜率为，
设直线的方程为， ……………………………………………2分
则圆心到直线的距离为．…………………………4分
因为，
而，所以， ……………………………6分
解得或，
故直线的方程为或．…………………………………8分
（2）假设圆上存在点，设，则，
，
即，即， ………………………………10分
因为，……………………………………12分
所以圆与圆相交，
所以点的个数为．…………………………………………………………14分
18．解：（1）由，知，
解得， 又可求得点为，………3分
所以代入，得.……………6分
（2）因为，所以.
①当，即时，，此时在上单调递增，
所以； ……………8分
②当即时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，.
(i)当，即时，；………10分
(ii) 当，即时，……12分
③当，即时，，此时在上单调递减，
所以. ……………14分
综上，当时，；
当时，. ……………16分
19．(本小题满分16分)
解：（1）依题意，，，其中，
解得．
因为，所以． ……………4分
（2）由（1）知，椭圆的右焦点为，椭圆的方程为，①
所以．从而直线的方程为：． ②
由①②得，．从而直线的方程为：．
令，得，所以点的坐标为． ……………9分
（3）设（），且，即．
则直线的方程为：，令，得．……………11分
直线的方程为：，令，得． ……………13分
所以四边形的面积
． ……………16分
20．【考点】椭圆的简单性质．
【分析】
（1）由于直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，可得=b，解得b．又离心率e==，b2=a2﹣c2，联立解得即可得出．
（2）把x=代入椭圆方程可得：，可得⊙D的方程为：．
令x=0，解得y，可得|AB|，利用S△ABD=即可得出．
（3）由（1）知：A1（﹣2，0），A2（2，0），B2（0，1），可得直线A1B2AD的方程，设直线A2P的方程为y=k（x﹣2），k≠0，且k≠，联立解得E．设P（x1，y1），与椭圆方程联立可得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．解得P．设F（x2，0），则由P，B2，F三点共线得，．可得F．即可证明2m﹣k为定值．
【解答】
（1）解：∵直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，
∴=b，化为b=1．
∵离心率e==，b2=a2﹣c2=1，联立解得a=2，c=．
∴椭圆C的方程为=1；……………………4分
（2）解：把x=代入椭圆方程可得：，解得y=±．
∴⊙D的方程为：．
令x=0，解得y=±，
∴|AB|=，
∴S△ABD===．……………………9分
（3）证明：由（1）知：A1（﹣2，0），A2（2，0），B2（0，1），
∴直线A1B2的方程为，……………………11分
由题意，直线A2P的方程为y=k（x﹣2），k≠0，且k≠，
由，解得．
设P（x1，y1），则由，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．
∴2x1=，∴x1=，y1=k（x1﹣2）=．
∴．……………………13分
设F（x2，0），则由P，B2，F三点共线得，．
即=，∴x2=，∴F．
∴EF的斜率m==．……………………15分
∴2m﹣k=﹣k=为定值．……………………16分