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- 2021-06-04 发布
数学试题（理科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则= （ ）
A． B． C． D．
2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有1个白球”和“都是红球”
B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”
C．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球”
D．“至多有1个白球”和“都是红球”
3. 若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且
＝（ ）
A．－3 B． 1 C．－1 D．3
5. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的值为（ ）
A． B. C. D.
6. 是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7.若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4
C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为8
8.等差数列的第四项为( )
A． B． C． D．
9.已知的定义域为，且满足，
若则( )
A． B． C． D．
10. 如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于（ ）
A． B．
C． D．
11. 设函数,已知在有且仅有5个零点,
有下述四个结论：
①在恰好有3次取到最大值
②在恰好有2次取到最小值
③在单调递增
④的取值范围是
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③④ B．②④ C．①④ D．①③
12. 已知函数有两个零点，， ，则下面说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 有极小值点，且
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分
13. 函数的值域是_________.
14.若向量 则与夹角的正弦值等于________.
15. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_______.
16. 如图，已知中，点在边上，
为 的平分线，
且.
则的值为_______，
的面积为_______________.
（本题第一空2分，第二空3分．）
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；
（2）讨论函数f(x)在上的单调性.
18.（本小题满分12分）
的内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
19.（本小题满分12分）
辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．
0.005
0.030
0.040
频率/组距
成绩(分数)
100
120
110
130
140
0.020
150
这100名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数
之比如下表所示：
分组区间
[100,110）
[110,120）
[120,130）
[130,140）
1:2
2:1
3:4
1:1
（1）估计这100名学生数学成绩的平均数、方差；
（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）从数学成绩在[130，150] 的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在
[140，150]的人数为，求的数学期望．
20.（本小题满分12分）
已知数列、满足，且
（1）令证明：是等差数列，是等比数列；
（2）求数列和的通项公式；
（3）求数列的前n项和公式．
21.（本小题满分12分）
已知函数有两个极值点、，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，使不等式对 恒成立，求实数的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的普通方程是，曲线的参数方程是（为参数）．在以为极点，
轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程是．
（1）写出及的极坐标方程；
（2）已知，，与交于两点，与交于两点，
求的最大值．
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设，．
（1）求证：．
（2）求证：．
数学参考答案（理科）
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
B
C
D
D
A
B
C
A
D
二、填空题
13、 14、 15、 16、
三、解答题
17. 解：（1），
…………（3分）
因为，所以最小正周期，…………（5分）
令，所以对称轴方程为，.…………（6分）
（2）令，得，，
…………（8分）
设，，
易知，…………（10分）
所以，当时，在区间上单调递增；
在区间上单调递减. …………（12分）
18. （1）由题设及正弦定理得．
因为，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此．…………（4分）
（2）由正弦定理，，所以 ，
的面积
…………（8分）
因为为锐角三角形，所以，因此.…………（10分）
所以，，所以，
因此的面积的取值范围是. …………（12分）
19. 解：（1）这100名学生语文成绩的平均数是：
…………（2分）
这100名学生语文成绩的方差是：
…………（4分）
（2）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为
∴数学成绩在[140，150]的人数为人，
而数学成绩在[130，140）的人数为人，…………（6分）
可取0,1,2，
，，，
的分布列
0
1
2
…………（10分）
∴． …………（12分）
（注：或用超几何分布的期望公式计算：
这里服从参数为的超几何分布，
因此）
20.（1）证明：由题设得，
即，因此，又，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列. …………（2分）
又由题设得，
即，因此，又，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列. …………（4分）
(2)由（1）知
即，解得…………（6分）
（3）
所以.…………（12分）
21. 解：（1） ， ………………（2分）
，
∴，即， ………………（4分）
解得的取值范围． ………………（6分）
（2）由，解得，
而在上递增，在上递减，在上递增
∵，∴．∴在上单调递增，
∴在上，． ………………（7分）
∴“，使对恒成立”等价于“不等式恒成立”，
即，不等式对任意的（）恒成立．
………………（8分）
令，则．
．
①当时，，在上递减．
，不合题意．
②当时，，∵，
若，即时，则在上先递减，
∵，∴时，不能恒成立；
若，即时，则在上单调递增，
∴恒成立，
∴的取值范围为． ………………（12分）
22. 解：（1）把，代入得，
所以极坐标方程是．
的普通方程是，其极坐标方程是．
…………（5分）
（2）：，：，分别代入，得，．
所以．
因为，当时，所以取最大值．
…………（10分）
23. 证明：（1）因为，同理，，
所以． …………（5分）
（2）由（1）得．因为，
所以．
因为．
所以，即． …………（10分）