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- 2021-06-04 发布
本专题特别注意：
1.数形结合求定积分
2.分段求定积分
3.定积分的几何意义
4.含绝对值的定积分求法
5.定积分与二项式定理的联系
6.定积分与导数的联系
7.分段函数定积分的求法
8.定积分与概率的联系
方法总结：
1.定积分计算的关键是通过逆向思维获知被积函数的原函数，即导数运算的逆运算.
2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.
3.利用定积分求平面图形面积的步骤：
(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；
(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
(3)将曲边梯形面积表示成若干个定积分的和；
(4)计算定积分，写出答案.
高考模拟：
一、单选题
1．直线过抛物线：的焦点且与轴垂直，则直线与所围成的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：先作出直线和抛物线围成的平面区域，再利用定积分的几何意义进行求解．
详解：由题意，得直线的方程为，
将化为，
由定积分的几何意义，得所求部分分面积为
．
点睛：本题考查抛物线的几何性质、定积分的几何意义等知识，意在考查学生的数形结合思想的应用能力和基本计算能力．
2．已知二项式的展开式中的系数为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
由题意得，解得．
所以．
故选B．
点睛：解答本题时注意两点：①正确写出二项展开式的通项，然后解方程得到的值；②求定积分时要正确得到被积函数的原函数，并准确求出函数值．
3．设，则的展开式中常数项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先根据定积分求得，求出二项展开式的通项后再求展开式中的常数项．
点睛：本题考查用微积分基本定理求定积分和二项展开式的通项的应用，解答的关键式准确写出二项展开式的通项，并根据常数项的特征求解．
4．若函数的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由图象求出函数解析式，然后利用定积分求得图中阴影部分的面积．
详解：由图可知，，，即.
∴，则.
∴图中的阴影部分面积为
故选C.
点睛：本题考查了导数在求解面积中的应用，关键是利用图形求解的函数解析式，在运用积分求解．定积分的计算一般有三个方法：①利用微积分基本定理求原函数；②利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；③利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0.
5．设,在区间上随机产生10000个随机数，构成5000 个数对，记满足的数对的个数为,则估计值约为( )
A. 3333 B. 3000 C. 2000 D. 1667
【答案】A
【解析】分析：设事件为“上随机产生数对，满足 ”，则总的基本事件为，对应的测度为正方形的面积1，而随机事件对应的测度为为曲边梯形的面积，它可利用定积分来计算.
详解：满足是在曲线、所围成的区域内（含边界），
又该区域的面积为，
故的估计值为，，故选A.
点睛：对于曲边梯形的面积，我们可以用定积分来计算.
6．已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7．已知，在的展开式中，记的系数为，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，所以，由已知有指的系数，指的系数，所以，选A.
8．已知，是以a为周期的奇函数，且定义域为，则的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2018
【答案】A
【解析】
可知的周期为
，
故选
9．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是
A. B.
C. D.
【答案】D
10．已知曲线和直线所围成图形的面积是，则的展开式中项的系数为（ ）
A. 480 B. 160 C. 1280 D. 640
【答案】D
【解析】
由题意得到两曲线围成的面积为
=
故答案为：D.
点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.
11．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选A.
12．已知函数在上可导，且，则（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
13．已知物体运动的速度与事件的关系式为，则落体从到所走的路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由积分的物理意义可知运动从t=0到t=5所走的路程为，
故选：B．
14．定积分的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】表示以为圆心，以为半径的圆， 定积分等于该圆的面积的四分之一， 定积分，故选A.
15．设函数f(x)= 则定积分f(x)dx等于( )
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】，故选C.
16．如图所示,在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
17．若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】展开式的通项为
，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为5．
所以.故选C
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
18．若,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
考点：定积分．
19．已知，则展开式中的系数为（ ）
A. 24 B. 32 C. 44 D. 56
【答案】A
【解析】,中系数为.故选.
20．如图所示，若程序框图输出的所有实数对所对应的点都在函数的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
21．如图，在由， ， ，及围成区域内任取一点，则该点落在， 及围成的区域内（阴影部分）的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
故选：D.
22．已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，故选D.
二、填空题
23．已知定义在上的函数与，若函数为偶函数，函数为奇函数，且，则__________．
【答案】12.
【解析】分析：根据定积分的几何意义和函数的奇偶性求解．
详解：∵函数为偶函数，函数为奇函数，
∴函数的图象关于y轴对称，函数的图象关于原点对称．
∴，，
∴．
点睛：定积分的几何意义是表示曲线以下、x轴以上和直线之间的曲边梯形的面积，解题时要注意面积非负，而定积分的结果可以为负．
24．若，则在的展开式中，的系数是__________．(用数字作答）
【答案】84
点睛：本题考点是定积分，以及二项展开式的通项公式是解决二项展开式特殊项问题的方法．
25．已知椭圆的焦点为，，其中，直线与椭圆相切于第一象限的点，且与，轴分别交于点，，设为坐标原点，当的面积最小时，，则此椭圆的方程为__________．
【答案】
【解析】分析：先根据定积分求出c，由题意，切线方程为
利用基本不等式，结合（为坐标原点）的面积最小，可得切点坐标，利用三角形的面积公式，即可求出 ，问题得以解决．
详解：
由椭圆的焦点为 ，可设椭圆的方程为
直线与椭圆相切，则切线方程为
点睛：本题考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆是位置关系，考查余弦定理的运用，基本不等式，椭圆的切线方程，属于难题
26．已知展开式中的常数项为60，则__________．
【答案】4.
【解析】分析：的通项公式为，令，，于是，利用微积分定理求解即可.
详解：的通项公式为，
令，，
，故答案为.
点睛：本题主要考查定积分以及二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
27．已知，则二项式的展开式中的系数为__________．
【答案】-160
点睛：本题主要考查定积分的计算，考查利用二项式的展开式求指定项.意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力.
28．若（其中），则的展开式中的系数为__________．
【答案】280
【解析】分析：利用微积分基本定理，求得，可得二项展开式通项为令得进而可得结果.
详解：因为 ，
所以，展开式的通项为
令得
所以，的展开式中的系数为，
故答案为.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
29．已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线与直线
所围成的封闭图形的面积为__________．
【答案】
30．已知，则二项式展开式中的常数项是__________．
【答案】
【解析】，
展开式通项为，
令，，∴常数项为．
故答案为240．
31．已知函数是定义在上的奇函数，则__________．
【答案】
【解析】 ．
32．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为 的圆面，中间有边长为的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体(油滴是直径为0.2的球）正好落入孔中的概率是__________．
【答案】
【解析】因为直径为的圆中有边长为的正方形，由几何概型的概率公式，得“正好落入空中”的概率为.
33．已知函数，则__________．
【答案】
点睛：定积分的计算一般有三个方法：
（1）利用微积分基本定理求原函数；
（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；
（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0
34．若，则__________．
【答案】3
【解析】 ， ，则.
35．若，且，则的值为__________．
【答案】1
点睛：求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.
36．如图所示，在平面直角坐标系内，四边形为正方形且点坐标为.抛物线的顶点在原点，关于轴对称，且过点.在正方形内随机取一点，则点在阴影区域内的概率为_________．
【答案】
【解析】由抛物线的顶点在原点，关于轴对称，且过点，所以抛物线方程为，
阴影区域的面积为，正方形的面积为1，
点在阴影区域内的概率为.
故答案为：
37．计算__________．
【答案】4
【解析】由题意得，
38．如图，在长方形内任取一点，则点落在阴影部分内的概率为__________．
【答案】
【解析】将代入 ，得 ，所以阴影部分面积为 ，矩形面积为 ，所以点 落在阴影部分内的概率为 ，故答案为 .
39．如图所示，由直线， 及轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即．类比之，若对，不等式 恒成立，则实数等于__________．
【答案】2
40．已知函数，则__________；
【答案】
【解析】，
而， 表示半圆的面积，即，则.
点睛：本题考查微积分基本定理、定积分的几何意义；求定积分的值主要有两种方法：
(1)利用微积分基本定理求解，即找出函数的原函数进行求解，即；
(2)利用函数的几何意义进行求解，主要涉及的定积分，如表示，即半圆的面积.
41．__________．
【答案】
42．已知实数满足不等式组且的最大值为，则__________．
【答案】
【解析】
作出可行域，目标函数可变为，令，作出，由平移可知直线过时取最大值，则．则．故本题应填．
43．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系平面内，若函数的图象与轴围成一个封闭的区域，将区域沿轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域的面积相等，则此圆柱的体积为__________．
【答案】
【解析】由题可得：底面面积为，所以圆柱得体积为：
44．若正实数满足，则的最小值为_______.
【答案】2
【解析】因为，所以，即，所以，故，应填答案。
45．若的展开式中项的系数为4，则________________
【答案】
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
46．如图，圆内的正弦曲线, 与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机向圆内投一个点，则点落在区域外的概率是__________．
【答案】
【解析】阴影部分的面积=，圆的面积为，所以点落在区域外的概率是
点睛：本题的关键是利用定积分求出阴影区域的面积，然后根据几何概型的计算公式求解即可
三、解答题
47．设点在曲线上，从原点向移动，如果直线，曲线及直线所围成的两个阴影部分的面积分别记为，，如图所示.
（1）当时，求点的坐标；
（2）当有最小值时，求点的坐标.
【答案】(1)；(2).
点睛：本题主要考查了定积分的应用及利用导数求解函数的最值问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
48．如图，函数（其中）的图像与坐标轴的三个交点为，且,，为的中点，且的纵坐标为.
（1）求的解析式；
（2）求线段与函数图像围成的图中阴影部分的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】分析：（1）由，则周期,
又，则，故，从而可得结果；（2）将阴影部分的面积分成两部分，分别利用定积分的几何意义求的曲边形的面积，求和即可.
详解：（1）由，则周期
又
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质以及定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线 以及直线之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在
轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.
49．已知二次函数，直线，直线（其中，为常数），若直线与函数的图象以及轴与函数的图象所围成的封闭图形（阴影部分）如图所示．
（1）求的值；
（2）求阴影面积关于的函数的解析式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由图象可知函数图象过点，并且的最大值为，分别代入解析式可得关于的方程组，即可解得的值；（2）先求出直线（其中为常数）与拋物线的交点横坐标（用表示），再利用定积分的几何意义求两部分面积之和即可.
试题解析：（1）由图形可知二次函数的图象过点，，并且的最大值为，则
，解得，
∴函数的解析式为．
50．抛物线y2=x与直线x-2y-3=0的两个交点分别为P、Q，点M在抛物线上从P向Q运动（点M不同于点P、Q），
（Ⅰ）求由抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围成的封闭图形面积；
（Ⅱ）求使⊿MPQ的面积为最大时M点的坐标。
【答案】(1) （2）P点的坐标为(1,1)时，⊿PAB的面积最大
【解析】试题分析：（1）先求直线与抛物线交点，确定上下函数，分两种情况求定积分，即得面积（2）过点M的切线与直线x-2y-3=0平行时⊿MPQ的面积为最大，利用导数几何意义求出切点M坐标
试题解析：
解：
方法二 若选取积分变量为y，则两个函数分别为x=y2
,x=2y+3.由方法一知上限为3，下限为-1.
∴S=dy=（y2+3y-y3) =(9+9-9)-(1-3+)=.
(Ⅱ)设点M的坐标为（a, b）,要使⊿MPQ的面积最大即使点M到直线x-2y-3=0的距离最大 ,故过点M的切线与直线x-2y-3=0平行,故过点M的切线斜率为K=1/2, a=1，b=1，∴P点的坐标为(1,1)时，⊿PAB的面积最大。
点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．