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- 2021-06-04 发布
武威六中2017-2018学年度高三一轮复习过关考试（四）
数 学（理）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则( )
A． B． C． D．
2．设复数，则复数的模为( )
A. B. C. D.
3.已知，则是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.设为等差数列，公差 ，为其前项和. 若，则（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
5.设，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A．7
B．42
C．210
D．840
7.若 ，则
A. B. C. 1 D.
8.函数的图象为（ ）
9.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
10.已知函数，且,，则以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知点则在方向上的投影 .
14.设若是与的等比中项，则的最小值为 .
15.设是定义在上的周期为的函数，当时，
，则=___________.
16.已知三棱锥三点均在球心为的球表面上，，，三棱锥的体积为，则球的表面积是___________.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题12分） 已知数列满足，，其中为的前项和，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，的前项和为，且对任意的正整数都有，求的最小值．
18. （本小题12分）如图，在四边形中， ， 且为正三角形.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若， ，求和的长．
19.（本小题12分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.
（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
20.（本小题12分）如图，平面平面，四边形为矩形，．为的中点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若时，求二面角的余弦值．
21.（本小题12分）已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
22.（本小题10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线（）与曲线分别交于两点，求．
高三数学第理科四次参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
B
A
C
B
A
C
D
B
A
12.解析：原式变形为，在区间是单调递增，是单调递减，所以的值域是的子集，对任意的 ，总存在唯一的，使得成立，所以 ，且 ，解得： ，当时，存在两个不同的实根，因此舍去，所以的取值范围是，故选C.
【点睛】本题考查了函数的单调性，不等式的恒成立和存在问题，属于中档题型，，，使，即函数的值域是值域的子集，若使，即说明的最小值大于函数的最小值，就转化求两个函数最值的问题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 14. 15. 16.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解（1），，，
两式相减得
注意到，，
于是，所以.
（2）
所以的最小值为.
18.解（Ⅰ）因为，
所以
所以
（6分）
（Ⅱ）设，，在和中由余弦定理得
代入得
解得或（舍）
即， （12分）
19.解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；
则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，
P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，
P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，
P（X=3）=××=；
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；6分
（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，
则所求事件的概率为
P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）
=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）
=×+×
=； （12分）
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．
20.（1）证明：连结，因，是的中点，故．
又因平面平面，故平面， 于是．又，所以平面，所以，又因，故平面，所以． 5分
（2）由（1），得，不妨设，，取的中点，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，从而
设平面的法向量，由，
得，
同理可求得平面的法向量，设的夹角为
，则
由于二面角为钝二面角，则余弦值为. 7分
21.解：（Ⅰ）由已知,，所以斜率，
又切点（1，2），所以切线方程为，即
故曲线在处的切线方程为．−−−−−−−−−−−−−−−−−（4分）
（Ⅱ）
①当时，由于，故，，所以的单调递增区间为．−−−−−−（6分）
②当时，由，得，在区间上，在区间上，所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是−−−−---------------−−−−（8分）
（Ⅲ）由已知，转化为．，所以
由（Ⅱ）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意．
当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，故的极大值也为最大值为，所以，解得．所以的取值范围为−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（12分）
22.解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数），
∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2=7．∵曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，
∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）2+y2=1，
得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，化简，得ρ=2cosθ．（5分）
（Ⅱ）依题意设A（），B（），
∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，
将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，
解得ρ1=3，
同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，
∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．（ 10分）