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- 2021-06-04 发布
江苏省海安高级中学2019-2020学年高二12月月考数学试卷
一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分．
1． 命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2． 在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC＝6，则△ABC的最大内角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3． 若是首项为1的等比数列，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4． 已知函数，则（ ）
A．4 B．1 C．－4 D．
5． 若数列的通项公式是，则（ ）
A．15 B．12 C．－12 D．－15
6． 已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线PF的斜率是（ ）
A． B． C． D．2
7． 已知△ABC的顶点分别为，，，则AC边上的高BD等于（ ）
A．5 B． C．4 D．
8． 直三棱柱中，∠BCA＝90°，M，N分别是，的中点，BC＝CA＝，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9． 已知、是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若直线与双曲线C在第一象限交于点P，过P向x轴作垂线，垂足为D，且D为（O为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．设函数的导数为，则数列（）的前n项和是（ ）
A． B． C． D．
11．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若x＞0，则
C．若a＞b＞0，则 D．若ab＞0，a＋b＝1，则
12．在正方体中，下列直线或平面与平面平行的是（ ）
A．直线 B．直线 C．平面 D．平面
13．若函数与的图象恰有一个公共点，则实数a可能取值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．－1
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．
14．若0＜x＜1，则的最小值为 ▲ ．
15．设函数，且，，则a＋b＝ ▲ ．
16．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．
17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ．
三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分12分）
已知命题p：“，不等式成立”是真命题．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若q：－4＜m－a＜4是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（本小题满分12分）
设函数（a，），曲线在点处的切线方程为y＝3．
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．
20．（本小题满分14分）
设数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的前n项和，并比较与的大小．
21．（本小题满分14分）
图1是由菱形ABCD，平行四边形ABEF和矩形EFGH组成的一个平面图形，其中，BE
＝EH＝1，，，将其沿AB，EF折起使得CD与HG重合，如图2．
（1）证明：图2中的平面BCE⊥平面ABEF；
（2）求图2中点F到平面BCE的距离；
（3）求图2中二面角E－AB－C的余弦值．
图1
图2
22．（本小题满分15分）
已知抛物线C：（0＜p＜2）的焦点为F，是C上的一点，且．
（1）求C的方程；
（2）直线l交C于A、B两点，且△OAB的面积为16，求直线l的方程．
23．（本小题满分15分）
已知椭圆C：（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．
（1）若直线与直线OD的斜率之积为，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
高二数学试卷
一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分．
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】D
10．【答案】A
11．【答案】BCD
12．【答案】AD
13．【答案】BCD
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．
14．【答案】
15．【答案】1
16．【答案】
17．【答案】升 升
三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分12分）
【答案】
19．（本小题满分12分）
【答案】
(1)f′(x)＝a－，
于是解得或
因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.
(2)证明：在曲线上任取一点，
由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为
y－＝(x－x0)．
令x＝1，得y＝，
切线与直线x＝1的交点为；
令y＝x，得y＝2x0－1，
切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)；
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为|2x0－1－1|＝
|2x0－2|＝2.
所以所围成的三角形的面积为定值2.
20．（本小题满分14分）
【答案】
21．（本小题满分14分）
【答案】
（1）由题知，在中：
所以 2分
又在矩形中： 3分
且
所以平面 4分
又因为平面
所以平面平面 5分
（2）由（1）知：平面，所以
因为菱形中的，所以为等边三角形，，
所以在中： 6分
所以在中， 7分
又因为平面平面，且平面平面
所以平面 8分
又因为平面，所以点到平面的距离为 9分
（3）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系
所以 10分
由（1）知平面的法向量为, 11分
设平面的法向量，因为，
由，得，取得， 12分
所以，即二面角的余弦值为 14分
22．（本小题满分15分）
【答案】
（1）将M（2，y0）代入x2＝2py得y0＝，
又|MF|＝y0﹣（﹣）＝+＝，∴p＝1，
∴抛物线的方程为x2＝2y，-------5分
（2）直l的斜率显然存在，设直线l：y＝kx+b，A（x1，y1）、B（x2，）
由得：x2﹣2kx﹣2b＝0
∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2b
由，kOAkOB＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b＝4
∴直线方程为：y＝kx+4，所以直线恒过定点（0，4），
原点O到直线l的距离d＝，
∴SOAB＝×d|AB|＝ו＝
＝2＝16，
∴4k2+32＝64，解得k＝±2
所以直线方程为：y＝±2x+4．---------14分
23．（本小题满分15分）
【答案】
（1）由得 ， 显然，
设，，，则，，
∴， .
∴ .
∴. 所以椭圆方程为.-------6分
（2）假设存在定点，且设， 由得.
∴. 即 ，
∴ .
由（1）知，， ∴ .
∴. 所以存在定点使得.------14分