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- 2021-06-04 发布
数学试题
一．选择题（共12小题）
1．复数z=的虚部为（ ）
A．﹣ B．﹣1 C． D．
2．已知集合A={x|x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x∈R|﹣1＜x＜m}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（ ）
A．（3，+∞） B．（﹣1，3） C．[3，+∞） D．（﹣1，3]
3．已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），P5（x5，y5），P6（x6，y6）是抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点，F是抛物线C的焦点，若|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|=36，且x1+x2+x3+x4+x5+x6=24，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2=4x B．y2=8x C．y2=12x D．y2=16x
4．已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点，离心率为．若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）=[x]为取整函数，的零点，则g（x0）等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．已知点及抛物线x2=8y上一动点P（x0，y0），则y0+|PM|的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若α，β均为锐角且cos，cos（α+β）=﹣，则sin（）=（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线c：=1（a＞b＞0），以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N（异于原点O），若|MN|=2a，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
11．已知M是椭圆+=1上一点，F1，F2是椭圆的左，右焦点，点I是△MF1F2的内心，延长MI交线段F1F2于N，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且2f（x）+2f'（x）＞3，f（1）=1，则不等式2f（x）﹣3+＞0的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，2）
二．填空题（共4小题）
13．各项为正数的等比数列{an}中，a2与a9的等比中项为2，则log4a3+log4a4+…+log4a8= ．
14．在面积为2的等腰直角△ABC中，E，F分别为直角边AB，AC的中点，点P在线段EF上，则的最小值为 ．
15．在三棱锥A﹣BCD中，，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是 ．
16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n，则f（a5）+f（a6）= ．
三．解答题（共6小题）
17．已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的最大值及取得最大值时的x的集合．
18．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣12=0．
（1）求⊙C的参数方程；
（2）求直线l被⊙C截得的弦长．
19．已知数列{an}满足，（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=nan，求|b1|+|b2|+…+|b12|．
20．如图，菱形ABCD与矩形BDEF所在平面互相垂直，∠BDA=．
（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；
（Ⅱ）若二面角A﹣EF﹣C为直二面角时，求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值．
21．已知椭圆的离心率是，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线y=x+m与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当实数m变化时，求|AB|的最大值；
（3）求△ABO面积的最大值．
22．已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设点C是抛物线上的动点，若以点C为圆心的圆在x轴上截得的弦长均为4，求证：圆C恒过定点．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
AABCB ACABC AA
9.解：∵α，β均为锐角，且cos，cos（α+β）=﹣，
∴sinα==，sin（α+β）==
∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=+=，
可得：sinβ==，
∴sin（）=﹣cos2β=sin2β﹣cos2β=﹣=．
11．解：如图，∵I为△MF1F2的内心，
∴F1I为∠MF1N的平分线，F2I为∠MF2N的平分线，
∴=======．故选：A．
12． 解：由题意2f（x）+2f'（x）＞3，两边同乘ex，然后化简ex[2f（x）﹣3]+2exf'（x）＞0，故{ex[2f（x）﹣3]}'＞0，
令g（x）=ex[2f（x）﹣3]，则函数g（x）是R上的单调递增函数，
而，据此可得x＞1．故选：A．
二．填空题（共4小题）
13．
14． 解：等腰直角△ABC的面积为2，则AB2=2，则AB=2，
以A为坐标原点，AB，AC所在直线为x，y轴建立坐标系．
即有B（2，0），C（0，2），E，F分别为直角边AB，AC的中点，
则E（1，0），F（0，1），设P（m，n），且m+n=1，
则=（2﹣m，﹣n），=（﹣m，2﹣n），
•=﹣m（2﹣m）﹣n（2﹣n）=m2+n2﹣2m﹣2n
=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）=1﹣2mn﹣2=﹣1﹣2mn
=﹣1﹣2m（1﹣m）=﹣1+2（m﹣）2﹣≥﹣，
当且仅当m=时，取得最小值，且为﹣．故答案为：﹣．
15． 解：由已知可得，BC⊥AB，BC⊥BD，
∴BC⊥平面ABD，设三棱锥外接球的球心为O，正三角形ABD的中心为O1，则OO1⊥平面ABD，连接O1B，OO1，OC，
在直角梯形O1BCO中，有，BC=1，OC=OB=R，可得：，故所求球的表面积为．故答案为：．
16． 解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
又∵，∴．
∴．
∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{an}满足a1=﹣1，且Sn=2an+n，
∴当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1+n﹣1，
则an=2an﹣2an﹣1+1，即an=2an﹣1﹣1，∴an﹣1=2（an﹣1﹣1）（n≥2），
则，∴．上式对n=1也成立．∴a5=﹣31，a6=﹣63．
∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3．
三．解答题
17． 解：（1），
当即，
因此，函数f（x）的单调递增取间为．
（2）由已知，，
∴当时，．
∴当，g（x）的最大值为．
18． 解：（1），⊙C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣12=0．
转换为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y﹣12=0，
整理得：x2+（y﹣2）2=16，
转换为参数方程为：（θ为参数）．
（2）直线l的参数方程为（t为参数）．
转换为直角坐标方程为：2x﹣y﹣3=0．
所以：圆心（0，2）到直线2x﹣y﹣3=0的距离d=，
所以直线被圆所截得弦长为：l=2．
19解：（Ⅰ）由，
有n≥2时，
，
化简得到，
而也满足，故；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
由，由，
|b1|+|b2|+…+|b12|=﹣（b1+b2+…+b5）+（b6+b7+…+b12）
=（b1+b2+…+b12）﹣2（b1+b2+…+b5）
=．
20．证明：（Ⅰ）∵菱形ABCD，∴AD∥BC，
∵AD⊂面ADE，BC⊄面ADE，
∴BC∥面ADE，同理BF∥面ADE，
∵BC∩BF=F，BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，
∴面ADE∥面BCF，∵CF⊂面BCF，∴CF∥面ADE
解：（Ⅱ）取EF的中点M，连接AC交BD于点N，
∵AE=AF，CE=CF，∴AM⊥EF，CM⊥EF，
∴∠AMC就是二面角A﹣EF﹣C的平面角
当二面角A﹣EF﹣C为直二面角时，MN=AN=BD，
由CM⊥平面AEF，欲求直线BC与平面AEF所成的角，
先求BC与MC所成的角．连结BM，设BC=2，
则在△MBC中，CM=，MB=2，
故直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值为：
sinθ=|cos∠MCB|==．
21．解：（1）由题意得，得，从而b2=1，
所以椭圆C的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去y，整理得3x2+4mx+2m2﹣2=0，
由题意知△=16m2﹣4×3（2m2﹣2）=﹣8m2+24＞0，
所以m2＜3，，
所以，
所以当且仅当m=0时，|AB|有最大值；
（3）点O到直线AB的距离为，从而△ABO的面积为
==
≤，（当且仅当m2=3﹣m2，即时，等号成立）
所以△ABO面积的最大值为．
22.解：（1）由题意，x2=2py，焦点坐标为，
由点到直线的距离公式，解得p=2，
所以抛物线的标准方程是x2=4y；
（2）证明：设圆心C的坐标为，半径为r，
又圆C在x轴上截得的弦长为4，
所以，圆C的标准方程：，
化简得：，①
对于任意的x0∈R，方程①均成立，
故有：，解得：x=0，y=2，
所以圆C过一定点为（0，2）．