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- 2021-06-04 发布
南昌三中2016-2017学年度下学期期末考试
高二数学（理）试卷
命题：施伟斌 审题：杨一博
一选择题
1.设集合（ ）
A．（1，+） B． C．（0，+） D．
2.在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差
3.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)＝( )
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
4. 已知命题P：;命题q:函数的值域为R ,则P是q的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5、已知函数f(x)＝ 则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是( )
A.{x|－1≤x≤－1} B.{x|x≤1} C.{x|x≤－1} D.{x|－－1≤x≤－1}
6．设f(x)是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线x＝2对称，已知x∈[－2,2]时，函数f(x)＝－x2＋1，则x∈[－6，－2]时，f(x)等于 ( )
A．－(x＋4)2＋1 B．－(x－4)2＋1C．－(x－4)2－1 D．－(x＋4)2－1
7.已知集合若映射满足且，则这样的映射个数为（ ）
A．12 B.11 C.10 D.9
8.若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（ ）
（A） （B） （C）1 （D）2
9.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( )
A.－40 B.－20 C.20 D.40
第7题图
10.如图，、分别为棱长为1的正方体的棱、的中点，点、分别为面对角线和棱
上的动点（包括端点），则下列关于四面体E-FGH的体积说法正确的是（ ）
A）此四面体体积既存在最大值，也存在最小值；
B）此四面体的体积为定值；
C）此四面体体积只存在最小值；
D）此四面体体积只存在最大值。
11已知函数的对称中心为，记函数的导函数为，的导函数为，则有．若函数，则可求得（ ）
A. B． C. D．
12．设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为 ( )
A． B． C． D．
二． 填空题
13.若实数满足，则的最大值是 。
14.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为________
15. 如图,网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 .
16. 对于圆锥曲线，给出以下结论：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为圆；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线有相同的焦点.
⑤椭圆C:上满足的点有4个（其中为椭圆C的焦点）.
其中正确结论的序号为 （写出所有正确结论的序号）．
二． 解答题
17．已知命题p:的定义域为R，命题q：关于 的不等式>1的解集为R，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数的取值范围.
18.如图，平面,四边形为矩形， ，为的中点，．
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值
19.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
20.（本小题满分13分）
已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A(-4，0)，过点R(3，0)作与x轴不重合的直线l交椭圆于P、Q两点，连结AP、AQ分别交直线于M、N两点，试问直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由。
21.设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值.求实数a的取值范围.
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.已知圆锥曲线（为参数）和定点，、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值．
23.设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围.
高二数学（理）答案
一选择题
1.设集合 （ B ）
A．（1，+） B． C．（0，+） D．
2.在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差
3.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)＝( C )
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
4、已知命题P：;命题q:函数的值域为R ,则P是q的( C )
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知函数f(x)＝ 则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是( C )
A.{x|－1≤x≤－1} B.{x|x≤1} C.{x|x≤－1} D.{x|－－1≤x≤－1}
6．设f(x)是定义域在R上的偶函数，它的图象关于直线x＝2对称，已知x∈[－2,2]时，函数f(x)＝－x2＋1，则x∈[－6，－2]时，f(x)等于 ( )
A．－(x＋4)2＋1 B．－(x－4)2＋1C．－(x－4)2－1 D．－(x＋4)2－1
解析：∵f(x)是R上的偶函数，它的图象关于直线x＝2对称．∴f(－x)＝f(x)，f(x＋4)＝f(－x)∴f(x)＝f(x＋4)．当x∈[－6，－2]时，x＋4∈[－2,2]．则f(x)＝f(x＋4)＝－(x＋4)2＋1，
7.已知集合若映射满足且，则这样的映射个数为 （ B ）
A．12 B.11 C.10 D.9
8.若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（ C ）（A） （B） （C）1 （D）2
9.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( )
A.－40 B.－20 C.20 D.40
解：令x＝1，可得a＋1＝2，a＝1，的展开式中项的系数为C22(－1)3，x项的系数为 C23，∴(2x－)5的展开式中常数项为C22(－1)＋C23＝40.故选D.
第7题图
10..如图，、分别为棱长为1的正方体的棱、的中点，点、分别为面对角线和棱上的动点（包括端点） （ A ）
A）此四面体体积既存在最大值，也存在最小值；
B）此四面体的体积为定值；
C）此四面体体积只存在最小值；
D）此四面体体积只存在最大值。
答案：A
11已知函数的对称中心为，记函数的导函数为，的导函数为，则有．若函数，则可求得（ ）
A. B． C. D．
答案：D
12．设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为 ( A )
A． B． C． D．
二． 填空题
13.、若实数满足，则的最大值是__9__。
14. 15已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为
________{x|x<－lg2}
15..如图,网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为_____3______
A.2 B. C.2 D.3
16. 对于圆锥曲线，给出以下结论：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为圆；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线有相同的焦点.
⑤椭圆C:上满足的点有4个（其中为椭圆C的焦点）.
其中正确结论的序号为 ▲ （写出所有正确结论的序号）．
答案：②③④
三． 解答题
17．已知命题p:的定义域为R，命题q：关于 的不等式>1的解集为R，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数的取值范围.
解：p为真命题时，
P为真命题时，令
的解集为R
又“p或q为真”，“p且q”为假 P，q中一真一假
a的取值范围是
18.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
17．解：(1)X可能的取值为10，20，100，－200.
根据题意，有
P(X＝10)＝C××＝，
P(X＝20)＝C××＝，
P(X＝100)＝C××＝，
P(X＝－200)＝C××＝.
所以X的分布列为：
X
10
20
100
－200
P
(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，则
P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－＝1－＝.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
(3)由(1)知，X的数学期望为EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－.
这表明，获得分数X的均值为负．
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
19.如图，平面,四边形底面为矩形， ，为的中点，．
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值
19（本小题满分12分）
（I）证明：连接，因为，是的中点，故.
又因为平面平面，面面，面，
故平面.
因为面，于是. ……………………2分
又，，所以平面，所以. ……………………4分
又因为，，故平面， ……………………5分
所以. ……………………6分
（Ⅱ）由（I）得，，不妨设，取的中点，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系。因为，所以，，于是有，从而，，设平面的法向量，由
得得， …………………………9分
同理，可求得平面的一个法向量，设的夹角为，
则， …………………………11分
由于二面角为钝二面角，所以所求余弦值为. …………………………12分
20.（本小题满分13分）
已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为
，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A(-4，0)，过点R(3，0)作与x轴不重合的直线l交椭圆于P、Q两点，联结AP、AQ分别交直线于M、N两点，试问直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由。
【解】（1）由题意：………2′
，∴a2=16………3′
故椭圆C的方程为………4′
（2）设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，
若PQ⊥y轴，则M、N中有一点与A重合，与题意不符
故可设直线PQ：x=my+3.………5′
将其与椭圆方程联立，消去x得：(3m2+4)y2+18my-21=0………6′
，………7′
由A、P、M三点共线可知，，，………8′
同理可得………9′
………10′
而………11′
∴
故直线MR、NR的斜率为定值.………13′
21.设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值.求实数a的取值范围.
9.解 (1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a.
可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝－2a＝.
当a≤0时，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；
当a＞0时，x∈时，g′(x)＞0时，函数g(x)单调递增，
x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减.
所以当a≤0时，g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a＞0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.
(2)由(1)知，f′(1)＝0.
①当a≤0时，f′(x)单调递增，
所以当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意.
②当0＜a＜时，＞1，由(1)知f′(x)在内单调递增.
可得当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，x∈时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(0，1)内单调递减，在内单调递增.
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意.
③当a＝时，＝1，f′(x)在(0，1)内单调递增，
在(1，＋∞)内单调递减.
所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意.
④当a＞时，0＜＜1，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减.
所以f(x)在x＝1处取极大值，合题意 .
综上可知，实数a的取值范围为.
（23）（本小题满分10分）
22.已知圆锥曲线（为参数）和定点，、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值．
23）解：（Ⅰ）曲线可化为， …………………2分
其轨迹为椭圆，焦点为. ………………………3分
经过和的直线方程为,即. ………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的斜率为，因为，所以的斜率为，倾斜角为，
所以的参数方程为 （为参数）， ……………7分
代入椭圆的方程中，得. ……………8分
因为在点的两侧，所以. …………10分
23.设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围.
4.解(1)f(x)＝所以原不等式转化为或或所以原不等式的解集为∪[6,＋∞).
(2)只要f(x)max＜t2－3t，由(1)知f(x)max＝－1＜t2－3t解得t＞或t＜.即t的取值范围是∪，