- 164.00 KB
- 2021-06-04 发布
课时作业(四十八) [第48讲 椭圆]
[时间：45分钟 分值：100分]
1． 已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6 C．4 D．12
2． 椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是( )
A．± B．±
C．± D．±
3． 设P是椭圆＋＝1上一点，M、N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A．9,12 B．8,11
C．8,12 D．10,12
4．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5．条件p：动点M到两定点距离的和等于定长，条件q：动点M的轨迹是椭圆，条件p是条件q的( )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分又不必要条件
6．椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( )
A. B.
C. D.
7．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是( )
A．内切
B．相交
C．相离
D．无法确定
8． 椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆上，·＝0，则M到y轴的距离为( )
A. B.
C. D.
9．已知M是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，左、右焦点为F1，F2，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于N，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
11． 以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么椭圆的离心率等于________．
12．已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
13． 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A、B两点．若＝3，则k＝________.
14．(10分)已知点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离的最小值．
15．(13分)已知平面内曲线C上的动点到定点(，0)和定直线x＝2的比等于.
(1)求该曲线C的方程；
(2)设动点P满足＝＋2，其中M，N是曲线C上的点．直线OM与ON的斜率之积为－.问：是否存在两个定点F1、F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求F1、F2的坐标；若不存在，说明理由．
16．(12分) 已知中心在原点的椭圆 C：＋＝1的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x>0)为椭圆C上一点，△MOF1的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
课时作业(四十八)
【基础热身】
1．C [解析] 根据椭圆定义，△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4.
2．A [解析] 不妨设F1(－3,0)，设P(x0，y0)，则－3＋x0＝0，故x0＝3，代入椭圆方程得y0＝±，故点M的纵坐标是±.
3．C [解析] 由题意得最大值2a＋2、最小值2a－2，a＝5，故最大值是12、最小值是8.
4．B [解析] 因为P，再由∠F1PF2＝60°有＝2a，从而可得e＝＝.
【能力提升】
5．B [解析] 设两定点距离2c，定长为2a.当2a>2c时，为椭圆；当2a＝2c时，为线段；当2a<2c时，无轨迹．故动点M到两定点距离的和等于定长时，动点M的轨迹不一定是椭圆；当动点M的轨迹是椭圆时，动点M到两定点距离的和一定等于定长．
6．B [解析] 根据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，故所求的椭圆的离心率为.
7．A [解析] 如图，设线段是PF1，O1是线段PF1的中点，连接O1O，PF2，其中O是椭圆的中心，F2是椭圆的另一个焦点，则在△PF1F2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是|OO1|＝|PF2|＝(2a－|PF1|)＝a－|PF1|＝R－r.
8．B [解析] 条件·＝0，说明点M在以线段F1F2为直径的圆上，点M又在椭圆上，通过方程组即可求得点M的坐标，即可求出点M到y轴的距离．椭圆的焦点坐标是(±，0)，点M在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝3，即y2＝3－x2，代入椭圆方程得＋3－x2＝1，解得x2＝，即|x|＝，即点M到y轴的距离．
9．A [解析] 由于三角形内心是三个内角的平分线的交点，使用三角形内角平分线性质定理把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系．如图，连接PF1，PF2.在△MF1F2中，F1P是∠MF1N的平分线，根据三角形内角平分线性质定理，＝，同理可得＝，故有＝＝，根据等比定理＝＝＝.
10.＋＝1 [解析] 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，根据椭圆定义2a＝12，即a＝6，又＝，得c＝3，故b2＝a2－c2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为＋＝1.
11.－1 [解析] 如图所示，设A，B是椭圆的两个焦点，P是圆与椭圆的一个交点，则由正六边形的性质，△PAB是一个直角三角形，且∠BAP＝30°，所以AP＝ABcos30°＝c，
BP＝c，根据椭圆定义AP＋BP＝2a，故c＋c＝2a，所以e＝＝＝－1.
12．3 [解析] 方法1：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)，根据椭圆定义和△PF1F2是一个面积等于9的直角三角形，有第一式两端平方并把第二、三两式代入可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，即b2＝9，即b＝3.
方法2：利用本讲【问题思考】问题4的结论，b2tan＝9，解得b＝3.
13. [解析] 根据已知＝，可得a2＝c2，则b2＝c2，故椭圆方程为＋＝1，即3x2＋12y2－4c2＝0.设直线的方程为x＝my＋c，代入椭圆方程得(3m2＋12)y2＋6mcy－c2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据＝3，得(c－x1，－y1)＝3(x2－c，y2)，由此得－y1＝3y2，根据韦达定理y1＋y2＝－，y1y2＝－，把－y1＝3y2代入得，y2＝，－3y＝－，故9m2＝m2＋4，故m2＝，从而k2＝2，k＝±.又k>0，故k＝.
14．[解答] (1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，
设点P(x，y)，则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)，
由已知可得
则2x2＋9x－18＝0，解得x＝或－6，由于y>0，
故x＝，于是y＝，
∴点P的坐标是.
(2)由(1)得直线AP的方程是x－y＋6＝0，设点M(m,0)，
则M到直线AP的距离是，于是＝6－m，
又－6≤m≤6，解得m＝2.椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝2＋15，由于－6≤x≤6，∴当x＝时，d取得最小值.
15．[解答] (1)设曲线C上动点的坐标为(x，y)，根据已知得＝，化简整理这个方程得＋＝1，即为曲线C的方程．
(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝＋2得
(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)，
即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2，
因为点M，N在椭圆＋＝1上，
所以x＋2y＝4，x＋2y＝4，
故x2＋2y2＝(x＋4x＋4x1x2)＋2(y＋4y＋4y1y2)
＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)
＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．
设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，
kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，
所以x2＋2y2＝20，
所以P点是椭圆＋＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1、F2，则由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|为定值，又因为c＝＝，因此两焦点的坐标分别为F1(－，0)、F2(，0)．
【难点突破】
16．[解答] (1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3)，所以b2＝a2＋9，则椭圆C的方程为＋＝1.因为x>0，所以S△MOF1＝×3×x＝，解得x＝1，
故点M的坐标为(1,4)．
因为M(1,4)在椭圆上，所以＋＝1，得a4－8a2－9＝0，解得a2＝9或a2＝－1(不合题意，舍去)，则b2＝9＋9＝18，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其方程为y＝4x＋m(因为直线OM的斜率k＝4)．
由消去y，化简得18x2＋8mx＋m2－18＝0.
进而得到x1＋x2＝－，x1·x2＝.
因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，所以Δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)>0，化简得m2<162，解得－9