- 440.00 KB
- 2021-06-04 发布
2017-2018学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知命题p：∃x0∈R，log2（3+1）≤0，则￢p：（ ）
A．∃x0∈R，log2（3+1）＞0 B．∀x0∈R，log2（3x+1）≤0
C．∀x∈R，log2（3x+1）＞0 D．∀x∉R，log2（3x+1）＞0
2．设a＜b＜0，则下列不等式中不正确的（ ）
A．＞ B．＞ C．|a|＞﹣b D．＞
3．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=，则A=（ ）
A． B． C． D．或
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ）
A． B． C． D．
5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A向北偏东30°方向前进100m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（ ）
A．50m B．100m C．120m D．150m
6．已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4=40，Sn=210，Sn﹣4=130，则n=（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．3
8．直线与曲线相切，则b的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．1
9．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．椭圆+=1上一点M到左焦点F1的距离为4，N是MF1的中点，则|ON|=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
11．已知点P为双曲线（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，使 （O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，在同一个坐标系中，an=f（n）及Sn=g（n）的部分图象如图所示，则（ ）
A．当n=4时，Sn取得最大值 B．当n=3时，Sn取得最大值
C．当n=4时，Sn取得最小值 D．当n=3时，Sn取得最小值
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．抛物线y=8x2的准线方程为 ．
14．已知ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式cx2+bx+a＜0的解集为 ．
15．已知x＞0，y＞0且+=1，则xy的最大值为 ．
16．定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且f（x）+2017为奇函数，则不等式f（x）+2017ex＜0的解集是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共计70分）
17．（10分）已知p：方程+=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q：实数t满足不等式t2﹣（a﹣1）t﹣a＜0．
（Ⅰ）若p为真命题，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn=2﹣2an．
（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
且acosC+asinC﹣b﹣c=0．
（1）求A；
（2）若AD为BC边上的中线，cosB=，AD=，求△ABC的面积．
20．（12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：．（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？
21．（12分）在平面直角坐标系xOy，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点与上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）如图，若直线l与该椭圆交于P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数，求证：直线l的斜率为定值．
22．（12分）设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
中山市高二级2017—2018学年度第一学期期末统一考试
数学（文科）参考答案及评分标准
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
C
A
B
C
B
A
B
D
A
13. 14. 15. 16.
17.解：（1）因为方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，
所以，解得，
即实数的取值范围是 ； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）因为是的充分不必要条件，
所以是不等式的解集的真子集，
因为的两根为，所以只需，
即实数的取值范围 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
18．解：（1）因为，所以，即，所以
又，所以，
即，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列. ．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由（1）知，
所以
所以
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19.解：（1）∵，由正弦定理得：
，即
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
化简得：，∴．．．．．．．．．．．．．．．．5分
在中，，∴，得．．．．．．．．．6分
（2）在中，，得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
由正弦定理得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
设，在中，由余弦定理得：
，则
，解得，
即 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
故 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
20. 解：（Ⅰ）当时，，
当时，，
综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）由（1）知，当时，每天的盈利额为0
当时，
当且仅当时取等号 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
所以当时，，此时 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
当时，由
知函数在上递增，
，此时 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润
若，则当日产量为万件时，可获得最大利润．．．．．．．．．．．．．12分
21．（1）由题意，离心率，所以，所以，
故椭圆的方程为，将点代入，求得，
所以椭圆的标准方程为； ……………5分
（2）①设直线的方程为，则由题意直线的方程为，
由 ，得，
所以点的坐标为， ……………………9分
同理可求得点的坐标为． ……………………10分
所以直线的斜率为． ……………12分
22．解：（1）的定义域为，，
令，其判别式 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
①当时，，故在上单调递增，
②当时，的两根都小于0，在上，，
故在上单调递增，
③当时，的两根为，
当时，；当时，；当时，，
故分别在上单调递增，在上单调递减 ．．．．．．．．．．．6分
（2）由（1）知，．
因为，
所以，
又由（1）知，．于是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
若存在，使得．则．即，
亦即（*） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
再由（1）知，函数在上单调递增，而，
所以．这与（*）式矛盾，故不存在，使得
．．．．．12分