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- 2021-06-04 发布
深圳市2017年高三年级第二次调研考试
数学（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则等于（ ）
A．10 B． C．5 D．
3. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4.若实数满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． -8 B． -6 C. -2 D．4
5.已知平面向量，若，与的夹角，且，则（ ）
A． B． 1 C. D．2
6.设等差数列的前项和为，若，则 （ ）
A．4 B．6 C. 10 D．12
7.一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为，当且仅当时，称这样的数为“凸数”（如243），现从集合中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ）
A． B． C. D．
8.已知三棱锥，是直角三角形，其斜边平面
，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
9. 已知函数的图象如图所示，若，且，则（ ）
A． 1 B． C. D．2
10.一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． 24 B．48 C. 72 D．96
11.已知双曲线的左右顶点分别为，是双曲线上异于的任意一点，直线和分别与轴交于两点，为坐标原点，若依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12.若对任意的实数，函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.
13.以角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点，则 ．
14.已知直线与圆相切，则 ．
15.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的《孙子算经》共三卷.卷中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是8的整数倍时，均可采用此方法求解.如图，是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为 ．
16.若数列满足，则 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知分别为三个内角的对边，，.
（1）求；
（2）若是的中点，，求的面积.
18.如图，在直三棱柱中，为的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若，求点到平面的距离.
19. 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司咪推广线下分店，计划在市的区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店听其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记表示在各区开设分店的个数，表示这个个分店的年收入之和．
（个）
2
3
4
5
6
（百万元）
2.5
3
4
4.5
6
（1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；
（2）假设该公司在区获得的总年利润（单位：百万元）与之间的关系为
，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少个分店时，才能使区平均每个分店的年利润最大？
（参考公式：，其中）
20.已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）若经过定点的直线与曲线交于两点，是线段的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.
21.设函数（为常数），为自然对数的底数.
（1）当时，求实数的取值范围；
（2）当时，求使得成立的最小正整数.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，点，曲线 ，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.
（1）在直角坐标系中，求点的直角坐标及曲线的参数方程；
（2）设点为曲线上的动点，求的取值范围.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式存在实数解，求实数的取值范围.
参考答案
1.B
【解析】本题考查集合的基本运算,一元二次不等式.因为集合,,所以.选B.
【备注】集合的基本运算为高考常考题型,要求熟练掌握.
2.D
【解析】本题考查复数的概念与运算.因为,所以,所以.选D.
3.C
【解析】本题考查函数的单调性和奇偶性.由题意知A,C为偶函数,而A选项在上单调递减,排除A.选C.
【备注】偶函数首先要求定义域关于原点对称.的定义域为,的定义域为.
4.D
【解析】本题考查简单线性规划.画出可行域,如图三角形ABC所示.当过点时,取得最大值.选D.
5.B
【解析】本题考查平面向量的数量积.由题意知,即,所以,因为,所以,所以.选B.
【备注】等价于.
6.C
【解析】本题考查等差数列的通项与求和.因为为等差数列,所以,所以,因为,所以,所以,即,,所以.选C.
【备注】等差数列中;若,等差数列中.
7.B
【解析】本题考查古典概型,新定义问题.因为从集合中取出三个不相同的数共有个,由题意知,凸数有132,231,143,341,243,342,342,243共8个,所以这个三位数是“凸数”的概率.选B.
8.D
【解析】本题考查空间几何体的表面积.三棱锥所在长方体的外接球,即三棱锥所在的外接球;所以三棱锥的外接球的直径,即三棱锥的外接球的半径;所以三棱锥的外接球的表面积.选D.
9.A
【解析】本题考查三角函数的图像与性质.由题意知,函数的周期,所以,解得;当时,,所以,所以；因为,所以；所以.选A.
10.B
【解析】本题考查三视图,空间几何体的体积.还原出空间几何体,如图所示,该平面将长方体刚好平分,所以该几何体的体积V=48.选B.
11.A
【解析】本题考查双曲线的标准方程与几何性质,等比数列.由题意得,,而是双曲线上的点,令;求得直线:,:,所以;而依次成等比数列，所以,即①;而②,联立解得,;所以离心率===;经验证,当时,不满足题意,所以双曲线的离心率.即双曲线的离心率的取值范围是.选A.
【备注】双曲线,离心率,.
12.B
【解析】本题考查函数与方程,导数在研究函数中的应用.令,则,可得,在区间上单减,在区间上单增,即在处取得极小值;令,则横过点;而函数有两个不同的零点，所以与有2个不同的交点,所以,解得,即实数的取值范围是.选B.
13.-3
【解析】本题考查三角函数的定义、和角公式.由题意知,所以.
14.
【解析】本题考查直线与圆的位置关系.因为圆的圆心为,半径为2, 直线与圆相切,所以,解得.
15.121
【解析】本题考查流程图.循环一次,,;
循环二次,,; 循环三次,,; 循环四次,,; 循环五次,,,此时,,满足题意,结束循环,输出的.
16.
【解析】本题考查等比数列.因为,所以,;,将代入得:,即,即数列为等比数列,所以;所以.
17.(1)由可得，即有，
因为，∴，∴，
∴.
(2)设，则，
由，可推出①，
因为，所以，
由可推出②，
联立①②得，故，
因此．
【解析】本题考查三角恒等变换,诱导公式,正余弦定理,三角形的面积公式.(1)由正弦定理及三角恒等变换得，∴.(2)由余弦定理得,由三角形的面积公式得.
【备注】正弦定理:,余弦定理:.三角形的面积公式:.
18.(1)证明：∵直三棱柱，∴平面;
∵平面，∴;
∵，∴，∴;
∵，∴平面
∵平面，∴，
∵为的中点，∴，∴与相似，且有，
∵，∴；
(2)在矩形中，为的中点，可得，
在，由可得，从而可求得，
显然有，即，为点到平面的距离，
∵平面，由，可得，
计算得，，
∴，可推出，
∴点到平面的距离是.
【解析】本题考查空间几何体的体积,线面垂直.(1)证得,,∴平面∴;由与相似得，∴；(2)证得，所以为点到平面的距离，等体积法求得点到平面的距离是.
19.(1)由表中数据和参考数据得：
，，
∴，∴，
∴．
(2)由题意，可知总收入的预报值与之间的关系为：，
设该区每个分店的平均利润为，则，
故的预报值与之间的关系为，
则当时，取到最大值，
故该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大．
【解析】本题考查回归直线与回归方程,均值不等式.(1)代入数据得:,，，∴．(2)由题意，，当时，取到最大值.
20.(1)设，分析可知：动圆的圆心不能在轴的左侧，故，
∵动圆与直线相切，且与圆外切，
∴，∴，∴，
化简可得；
(2)设，由题意可知，当直线与轴垂直时，显然不符合题意，
故可设直线的方程为，
联立和并消去，可得，
显然，由韦达定理可知，①
又∵，∴，②
∵，∴，③
假设存在，使得，
由题意可知，∴，④
由点在抛物线上可知，即，⑤
又，
若，则，
由①②③④⑤代入上式化简可得，
即，∴，故，
∴存在直线或，使得
【解析】本题考查抛物线的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)由题意得，化简可得;(2)设直线为,联立方程,套用根与系数的关系得:存在直线或，使得
21.(1)由可知，
当时，，由，解得；
当时，，由，解得或；
当时，，由，解得或；
(2)当时，要使恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数的上单调递增．
又因为时，，且，
所以，存在唯一的，使得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增．
所以，当时，取到最小值．
，
因为，所以，
从而使得恒成立的最小正整数的值为1．
【解析】本题考查导数在研究函数、不等式中的应用.(1)分类讨论,得不等式的解.(2)构造函数,求导得:使恒成立的最小正整数的值为1．
22.(1)由，解得，
因为，所以；
即，即，
所以曲线的参数方程为：，为参数)；
(2)不妨设，
则=
，
因为，所以，
因此，的取值范围是．
【解析】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程.(1)将代入得,可得曲线的参数方程；(2)设，则=．
23.(1)因为，所以，即，
当时，不等式成立，
当时，，则，解之，得，
综上所述，实数的取值范围是．
(2)若关于的不等式存在实数解，只需，
又≥，
由，解得；
所以实数的取值范围是．
【解析】本题考查绝对值不等式.(1)转化为，分类讨论解得．(2)问题转化为,而≥,即，解得．