- 345.50 KB
- 2021-06-04 发布
第二章 函数、导数及其应用
[深研高考·备考导航] 为教师授课、学生学习提供丰富备考资源
[五年考情]
[重点关注]
1．从近五年全国卷高考试题来看，函数、导数及其应用是每年高考命题的
重点与热点，既有客观题，又有解答题，中高档难度．
2．函数的概念、图象及其性质是高考考查的主要内容，函数的定义域、解
析式、图象是高考考查的重点，函数性质与其他知识的综合是历年高考的热
点．
3．导数的几何意义，导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等
方面的应用是高考的重点与热点．
4．本章内容集中体现了四大数学思想：函数与方程、数形结合、分类讨论、
转化与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综合与
创新．
[导学心语]
1．注重基础：对函数的概念、图象、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导
数的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用，
要熟练掌握并灵活应用.
2．加强交汇，强化综合应用意识：在知识的交汇点处命制试题，已成为高
考的一大亮点，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程，因此，应加强函数
与三角函数、数列、不等式、解析几何、导数等各章节之间的联系．
3．把握思想：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化
思想在解决各种与函数有关的问题中均有应用，复习时应引起足够重视．
第一节 函数及其表示
[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；
了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、
列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超
过三段)．
1．函数与映射的概念
函数 映射
两集合 A，
B
设 A，B 是两个非空的数集 设 A，B 是两个非空的集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系 f，
使对于集合 A 中的任意一个数 x，
在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)
和它对应
如果按某一个确定的对应关系 f，
使对于集合 A 中的任意一个元素
x，在集合 B 中都有唯一确定的元
素 y 与之对应
名称
称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B
的一个函数
称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B
的一个映射
记法 函数 y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数 y＝f(x)，x∈A 中，自变量 x 的取值范围(数集 A)叫做函数的定义域；
函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这
两个函数为相等函数．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的
式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数
的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数是特殊的映射．( )
(2)函数 y＝1 与 y＝x0 是同一个函数．( )
(3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( )
(4)分段函数是两个或多个函数．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)函数 y＝ 2x－3＋ 1
x－3
的定义域为( )
A.[
3
2
，＋∞) B.(－∞，3)∪(3，＋∞)
C.[
3
2
，3)∪(3，＋∞) D.(3，＋∞)
C [由题意知Error!
解得 x≥3
2
且 x≠3.]
3．(2017·东北三省四市二联)已知函数 f(x)＝Error!则 f(f(
1
25 ))＝( )
A．4 B.1
4
C.－4 D.－1
4
B [∵f(
1
25 )＝log5
1
25
＝log55－2＝－2，
∴f(f(
1
25 ))＝f(－2)＝2－2＝1
4
，故选 B.]
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则 a＝
________.
－2 [∵f(x)＝ax3－2x 的图象过点(－1,4)，
∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得 a＝－2.]
5．给出下列四个命题：
①函数是其定义域到值域的映射；
②f(x)＝ x－3＋ 2－x是一个函数；
③函数 y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；
④f(x)＝lg x2 与 g(x)＝2lg x 是同一个函数．
其中正确命题的序号是________．
【导学号：01772018】
① [由函数的定义知①正确．
∵满足Error!的 x 不存在，∴②不正确．
∵y＝2x(x∈N)的图象是位于直线 y＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确．
∵f(x)与 g(x)的定义域不同，∴④也不正确．]
求函数的定义
域
(1)(2016·江苏高考)函数 y＝ 3－2x－x2的定义域是________．
(2)(2017·郑州模拟)若函数 y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数 g(x)＝f(2x)
x－1
的定义
域是________．
(1)[－3,1] (2)[0,1) [(1)要使函数有意义，需 3－2x－x2≥0，即 x2＋2x－3≤0，
得(x－1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．
(2)由 0≤2x≤2，得 0≤x≤1，又 x－1≠0，即 x≠1，
所以 0≤x<1，即 g(x)的定义域为[0,1)．]
[规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不
等式(组)求解．
2．(1)若已知 f(x)的定义域为[a，b]，则 f(g(x))的定义域可由 a≤g(x)≤b 求出；
(2)若已知 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的
值域．
[变式训练 1] (1)函数 f(x)＝ 1－2x＋ 1
x＋3
的定义域为( )
A．(－3,0] B.(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D.(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)已知函数 f(2x)的定义域为[－1,1]，则 f(x)的定义域为________.
【导学号：01772019】
(1)A (2)[
1
2
，2] [(1)由题意，自变量 x 应满足Error!解得Error!∴－3＜
x≤0.
(2)∵f(2x)的定义域为[－1,1]，
∴1
2
≤2x≤2，即 f(x)的定义域为[
1
2
，2].]
求函数的解析
式
(1)已知 f(
2
x
＋1)＝lg x，求 f(x)的解析式．
(2)已知 f(x)是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求 f(x)的解析式．
(3)已知 f(x)＋2f(
1
x )＝x(x≠0)，求 f(x)的解析式．
[解] (1)令2
x
＋1＝t，由于 x＞0，∴t＞1 且 x＝ 2
t－1
，
∴f(t)＝lg 2
t－1
，即 f(x)＝lg 2
x－1(x＞1)．
(2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由 f(0)＝2，得 c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋
b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即 2ax＋a＋b＝x－1，
∴Error!即Error!∴f(x)＝1
2x2－3
2x＋2.
(3)∵f(x)＋2f(
1
x )＝x，∴f(
1
x )＋2f(x)＝1
x.
联立方程组Error!
解得 f(x)＝ 2
3x
－x
3(x≠0)．
[规律方法] 求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的
取值范围；
(3)构造法：已知关于 f(x)与 f (
1
x )或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构
造出另外一个等式，通过解方程组求出 f(x)；
(4)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，
然后以 x 替代 g(x)，即得 f(x)的表达式．
[变式训练 2] (1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，则 f(x)＝________.
(2)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f(x)＝2·f (
1
x )· x－1，则 f(x)＝
________.
(1)x2－1(x≥1) (2)2
3 x＋1
3(x＞0) [(1)(换元法)设 x＋1＝t(t≥1)，则 x＝t
－1，
所以 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以 f(x)＝x2－1(x≥1)．
(配凑法)f( x＋1)＝x＋2 x＝( x＋1)2－1，
又 x＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)在 f(x)＝2f(
1
x )· x－1 中，用1
x
代替 x，
得 f(
1
x )＝2f(x)· 1
x
－1，
由Error!
得 f(x)＝2
3 x＋1
3(x＞0)．]
分段函数及其应用
☞角度 1 求分段函数的函数值
(1)(2015·全国卷Ⅱ)设函数 f(x)＝Error!则 f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B.6
C．9 D.12
(2)(2017·东北三省四市一联)已知函数 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，如果 f(x
＋2 016)＝Error!那么 f(2 016＋π
4)·f(－7 984)＝( )
【导学号：01772020】
A．2 016 B.1
4
C.4 D. 1
2 016
(1)C (2)C (1)∵－2<1，
∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.
∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝12
2
＝6.
∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选 C.
(2)当 x≥0 时，有 f(x＋2 016)＝ 2sin x，∴f(2 016＋π
4)＝ 2sinπ
4
＝1；当 x＜0
时，f(x＋2 016)＝lg(－x)，∴f(－7 984)＝f(－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f
(2 016＋π
4)·f(－7 984)＝1×4＝4，故选 C.]
☞角度 2 已知分段函数的函数值求参数
(1)(2017·成都二诊)已知函数 f(x)＝Error!若 f(f(－1))＝2，则实数
m 的值为( )
A．1 B.1 或－1
C. 3 D. 3或－ 3
(2)设函数 f(x)＝Error!若 f(f(
5
6 ))＝4，则 b＝( )
A．1 B.7
8
C.3
4
D.1
2
(1)D (2)D [(1)f(f(－1))＝f(1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得 m＝
± 3，故选 D.
(2)f(
5
6 )＝3×5
6
－b＝5
2
－b，若5
2
－b<1，即 b>3
2
，则 3×(
5
2
－b)－b＝15
2
－4b＝
4，解得 b＝7
8
，不符合题意，舍去；若5
2
－b≥1，即 b≤3
2
，则 25
2
－b＝4，解得 b＝
1
2.]
☞角度 3 解与分段函数有关的方程或不等式
(1)(2017·石家庄一模)已知函数 f(x)＝Error!且 f(x)＝－1
2
，
则 x 的值为________．
(2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝Error!则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围
是________．
(1)－1
3
(2)(－∞，8] [(1)当－1＜x≤0 时，f(x)＝sinπx
2
＝－1
2
，解得 x＝－1
3
；
当 0＜x＜1 时，f(x)＝log2(x＋1)∈(0,1)，此时 f(x)＝－1
2
无解，故 x 的值为－1
3.
(2)当 x<1 时，x－1<0，ex－1