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- 2021-06-04 发布
桂林市中山中学 2016－2017 学年度上学期
高二理科数学期中试卷
考试范围：选修 2-1 第三章、选修 2-2；考试时间：120 分钟；命题人：扈琨 审题
人：秦柔
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，共 60 分)
1.设复数 z 满足 z+i=3-i,则 = ( )
A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i
2.用反证法证明命题：“若 a，b∈N，ab 能被 5 整除，则 a，b 中至少有一个能被 5 整除”，
那么假设的内容是( )
A．a，b 都能被 5 整除 B．a，b 都不能被 5 整除
C．a，b 有一个能被 5 整除 D．a，b 有一个不能被 5 整除
3．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，
写出后一种化合物的分子式是( )
A. C4H9 B． C4H10
C． C4H11 D． C6H12
4．曲线 y＝1
3
x3－2 在点(1，－5
3
)处切线的倾斜角为( )
A．30° B．45° C．135° D．150°
5. 函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f′(x)的图象如图所示，则函数
f(x)( )．
A.无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
6. 《论语》云：“名不正,则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，
则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足。所以名不正，则民无所措手足。”上述理由用的
是（ ）.
A、演绎推理 B、类比推理 C、合情推理 D、归纳推理
7．
e
dxxx1
1 =（ ）
A. 2e B.
2
12 e C.
2
1-2e D.
2
32 e
8.用数学归纳法证明 1
n＋1
＋ 1
n＋2
＋…＋ 1
3n＋1
>1(n∈N＋)时，在验证 n＝1 时，左边的代数式
为( )
A．1
2
＋1
3
＋1
4
B．1
2
＋1
3
C．1
2
D．1
9．函数 f(x)＝1＋x－sinx 在(0,2π)上是( )
A．增函数 B．在(0，π)上递增，在(π，2π)上递减
C．减函数 D．在(0，π)上递减，在(0,2π)上递增
10.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角
的余弦值为( )
A.1
2
B.2
3
C. 3
3
D. 2
2
11．如右图所示，空间四边形 OABC 中，OA→＝a ，OB→＝b ，OC→＝c ，点 M 在 OA 上，且 OM＝
2MA，N 为 BC 中点，则MN→等于( )．
A．1
2
a－2
3
b＋1
2
c B．－2
3
a＋1
2
b＋1
2
c
C．1
2
a＋1
2
b－1
2
c D．－2
3
a＋2
3
b－1
2
c
12．已知定义在 R 上的可导函数 f（x）的导函数为 f'（x），满足 f'（x）＜f（x），
且 f（0）=2，则不等式 f（x）-2ex＜0 的解集为（ ）
A.（-2，+∞） B.（0，+∞） C.（1，+∞） D.（4，+∞）
第 I 卷（非选择题共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，共 20 分)
13.已知向量 =（2，-1，2）， =（1，m，n），若 ∥ ，则 m+n= ______ ．
14. 2
1 i
．
15. 学校艺术节对同一类的 A，B，C，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，
甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是 C 或 D 作品获得一等奖”；
乙说：“B 作品获得一等奖”；
丙说：“A，D 两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是 C 作品获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ______ ．
16．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线 y＝0 在原点处相切，
此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为27
4
，则 a 的值为________．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17．（10 分）若 ，求证：
18．（12 分）已知函数 xbxaxxf 3)( 23 在 1x 处取得极值－2.
（1）求函数 )(xf 的解析式； （2）求曲线 ( )y f x 在点 (2 , (2))f 处的切线方程；
19．（12 分）用总长为 14.8 米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面
的长比宽多 0.5 米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．
20.(12 分)如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为矩形，PA 是四棱锥的高，PA=AB=2，F 是 PB 的
中点，E 是 BC 上的动点．（Ⅰ）证明：PE⊥AF；
（Ⅱ）若 BC=2BE=2 3 AB，求直线 AP 与平面 PDE 所成角的大小．
21．(12 分)用数学归纳法证明： 12
1×3
＋ 22
3×5
＋…＋ n2
（2n－1）（2n＋1）
＝ n（n＋1）
2（2n＋1）
(n∈N*)
22．（12 分）已知 2,ln 23 xaxxxgxxxf
(1)求函数 xf 的单调区间; (2)求函数 xf 在 , 2t t 0t 上的最小值;
(3)对一切的 ,0x , 22 xgxf 恒成立,求实数 a 的取值范围.
桂林市中山中学 2016－2017 学年度上学期
高二理科数学期中试卷
考试范围：选修 2-1 第三章、选修 2-2；考试时间：120 分钟；命题人：扈琨 审题
人：秦柔
第 I 卷（选择题共 60 分）
二、选择题(本大题共 12 小题，共 60 分)
1.设复数 z 满足 z+i=3-i,则 = (C )
A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i
2.用反证法证明命题：“若 a，b∈N，ab 能被 5 整除，则 a，b 中至少有一个能被 5 整除”，
那么假设的内容是( B )
A．a，b 都能被 5 整除 B．a，b 都不能被 5 整除
C．a，b 有一个能被 5 整除 D．a，b 有一个不能被 5 整除
3．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是( B )
A. C4H9 B． C4H10
C． C4H11 D． C6H12
4．曲线 y＝1
3
x3－2 在点(1，－5
3
)处切线的倾斜角为( B )
A．30° B．45° C．135° D．150°
5. 函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f′(x)的图象如图所示，则函数 f(x)( C )．
A.无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
6. 《论语》云：“名不正,则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，
则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足。所以名不正，则民无所措手足。”上述理由用的
是（ A ）.
A、演绎推理 B、类比推理 C、合情推理 D、归纳推理
7． =（ B）
A.e2 B. C. D.
8.用数学归纳法证明 1
n＋1
＋ 1
n＋2
＋…＋ 1
3n＋1
>1(n∈N＋)时，在验证 n＝1 时，左边的代数式
为( A)
A．1
2
＋1
3
＋1
4
B．1
2
＋1
3
C．1
2
D．1
9．函数 f(x)＝1＋x－sinx 在(0,2π)上是( A )
A．增函数 B．在(0，π)上递增，在(π，2π)上递减
C．减函数 D．在(0，π)上递减，在(0,2π)上递增
10.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角
的余弦值为( B )
A.1
2
B.2
3
C. 3
3
D. 2
2
11．如右图所示，空间四边形 OABC 中，OA→＝a ，OB→＝b ，OC→＝c ，点 M 在 OA 上，且 OM＝
2MA，N 为 BC 中点，则MN→等于( B )．
A．1
2
a－2
3
b＋1
2
c B．－2
3
a＋1
2
b＋1
2
c
C．1
2
a＋1
2
b－1
2
c D．－2
3
a＋2
3
b－1
2
c
12．已知定义在 R 上的可导函数 f（x）的导函数为 f'（x），满足 f'（x）＜f
（x），
且 f（0）=2，则不等式 f（x）-2ex＜0 的解集为（ B）
A.（-2，+∞） B.（0，+∞） C.（1，+∞） D.（4，+∞）
第 I 卷（非选择题共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，共 20 分)
13.已知向量 =（2，-1，2）， =（1，m，n），若 ∥ ，则 m+n= ___
2
1 ___ ．
14. 2
1 i
2 ．
15. 学校艺术节对同一类的 A，B，C，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，
甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是 C 或 D 作品获得一等奖”；
乙说：“B 作品获得一等奖”；
丙说：“A，D 两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是 C 作品获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ____B__ ．
16．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线 y＝0 在原点处相切，
此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为27
4
，则 a 的值为___-3_____．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17．（10 分）若 ，求证：
证明： 3 3 4 3 3 4( )( )a b a b a a b ab b 4 2 2 4( )a ab a b b ………5 分
4 4 2 2 22 ( )a ab ab b a b
所以，原不等式得证。………………10 分
18．（12 分）已知函数 xbxaxxf 3)( 23 在 1x 处取得极值－2.
（1）求函数 )(xf 的解析式； （2）求曲线 ( )y f x 在点 (2 , (2))f 处的切线方程；
解：（1） 323)( 2 bxaxxf ，………………1 分
依题意有， (1) 0
(1) 2
f
f
，即 3 2 3 0
3 2
a b
a b
，………………3 分
解得 0,1 ba ．………………5 分 ∴ xxxf 3)( 3 ………………6 分
（2） 2( ) 3 3f x x ∴k= 2(2) 3 2 3 9f ，又 3(2) 2 3 2 2f ……9 分
故曲线 ( )y f x 在点 (2 , (2))f 处的切线方程为
2 9( 2)y x ，即 9 16 0x y ………………12 分
19．（12 分）用总长为 14.8 米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面
的长比宽多 0.5 米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．
解：设容器底面宽为 xm，则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.
由 0
3.2 2 0
x
x
解得 00；1