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- 2021-06-04 发布
突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍
平面向量的数量积是向量知识中的重要内容，考题中往往会涉及到求值或者取值范围的小题或大题，是高考题的热点和重点，那么如何求平面向量数量积呢？本文从三个方面予以阐述，以期给同学们启发．
一、利用“定义”求平面向量数量积
，根据几何或代数关系求非零向量的模和夹角是前提.
【例1】如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则＝______________.
A
B
C
D
E
F
【分析】根据正六边形的几何特征易求||，||，以及两向量夹角，但是要注意起点一致，代入数量积定义可求．
【点评】利用定义求两个非零向量数量积，关键要搞清向量的数量积和模，尤其在求向量夹角时，要判断其起点是否共点．
【小试牛刀】若等腰△ABC底边BC上的中线长为1，底角B＞60º，则·的取值范围是______．
【答案】（－1,－）
【解析】因为等腰△底边上的中线长为，底角，所以，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以
，所以，又因为，所以，所以，所以；故答案为：．
二、利用“坐标”求平面向量数量积
设，，则，用此法求平面向量数量积时，必须先建立恰当的平面直角坐标系，把向量坐标化，特别注意，当遇到特殊三角形或四边形时可以多考虑建系，以达到事半功倍的效果．
【例2】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c， ,a=b=3，点P是边AB上的一个三等分点，则 =________________.
【分析】由已知条件可求△ABC的高，和底边的长，根据对称关系，以所在的直线为轴，高所在直线为轴建立坐标系，用坐标表示相关点，用坐标求数量积．
．取点P靠近点B的三等分点．则 ．∴．同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6．∴
=6．
【点评】用坐标法求平面向量数量积可以简化解题过程，坐标法思想能否灵活使用以及坐标系建立的恰当与否是解题关键．
【小试牛刀】若点O、F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最大值为 .
【答案】6
三、利用“分解转化法”求平面向量数量积
利用平面向量基本定理将所求向量用基底表示，在不含坐标系或者不宜建系的情况下，通过向量运算得到解题结果，这种方法应予以重视．
【例3】在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为________________.
【分析】由向量加法三角形法则和向量共线定理将用基底表示，带入中求解．
【解析】，，由于，因此.
【点评】利用分解转化法求平面向量数量积，关键是选基底，基底的选择决定解题成功与否，本题将用基底表示，带入中，利用得出结论，这是本题关键．
【小试牛刀】在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y
，x>0，y>0，且x＋y＝1，则·的最大值为___________．
【答案】－
【解析】由题设：
所以，
=
所以当时，取得最大值.
A
B
C
D
E
两个向量的数量积是平面向量最重要、最活跃的内容，它的概念和性质在三角函数、立体几何、解析几何中都有着广泛的应用，求两个向量的数量积也常常出现在各类试题里，所以同学们一定要认真体会本文提到的三种方法，达到熟练运用，触类旁通．
【迁移运用】
1．【2015-2016年河北省唐山一中高二上学期期中】点P为椭圆上的任意一点，EF为圆的任一条直径，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】
2．【2014-2015学年吉林省长春市第十一高中高一下学期期末】在直角三角形中，，，若，则 ．
【答案】
【解析】
试题分析：已知，所以
3．【2014-2015学年广东省揭阳市一中高一下学期第二次段考】在边长为的正三角形中，设，则
【答案】
【解析】
试题分析：
4．【2016届湖北省龙泉中学、宜昌一中高三10月联考】边长为的正方形中,分别是线段上的点,则的最大值是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：设，，
，所以当时，取得最大值．
5．【2016届浙江省嘉兴一中高三期中】如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝1，点M，N分别是AB，BC的中点，点P是△ABC（包括边界）内任一点．则的取值范围为___ ___．
【答案】
【解析】
【思路点睛】解答本题的基本思路是：选择合适的原点建立坐标系，分别给出动点（含参数）和定点的坐标，结合向量内积计算公式进行求解．以C为坐标原点，CA边所在直线为x轴，建立直角坐标系，则，设，则且
，，令，结合线性规划知识，即可求出结果．
6．【2016届浙江省绍兴市一中高三9月回头考】已知圆O的直径AB=2，C是该圆上异于A、B的一点，P是圆O所在平面上任一点，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：
设，则
7．【2014-2015学年广东省广州市四校高一下学期期中】如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上．若，则 ．
A
B
C
D
F
E
【答案】
【解析】
8．【2014-2015学年浙江省瑞安八校高一下学期期中联考】如图，在矩形ABCD中，点为的中点，点在边上，且，则的值是 ．
A
B
C
E
F
D
【答案】
【解析】
试题分析：以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系， ，所以，所以
9．【2014-2015学年江西省上饶市横峰中学等四校高一6月考】已知向量，．
（1）设，求；
（2）若，求的值．
【答案】（1）; （2）
【解析】
（2），
由于与垂直，
，
∴．
10．【2016届宁夏银川一中高三上学期第三次月考】已知圆C过点P（1，1），且与圆M：关于直线对称。
（1）求圆C的方程：
（2）设Q为圆C上的一个动点，求最小值；
【答案】（1）；（2）－4．
【解析】
11．【2015-2016学年广东省普宁市华侨中学高一上学期第一次月考】在平面直角坐标系xOy中，点A（－1，－2）、B（2,3）、C（－2，－1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）设实数t满足（－t）·＝0，求t的值
【答案】（1）2、4；（2）－
【解析】
方法二
设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则E为B、C的中点，E（0,1），又E（0,1）为A、D的中点，所以D（1,4）．
故所求的两条对角线的长分别为
BC＝4，AD＝2．（4分）
（2）由题设知：＝（－2，－1），
－t＝（3＋2t,5＋t）．
由（－t）·＝0，得：
（3＋2t,5＋t）·（－2，－1）＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－．（9分）
12．【2015届山东省日照市高三校际联合检测（二模）】已知以C为圆心的动圆过定点，且与圆（B为圆心）相切，点C的轨迹为曲线T.设Q为曲线T上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ（O为坐标原点）的平行线交曲线T于M,N两点.
（Ⅰ）求曲线T的方程；
（Ⅱ）是否存在常数，使总成立？若存在，求；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在常数，使总成立.
【解析】
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，,.
∴，则； 5分
当直线斜率存在时，设，，MN:，则:，
由得，
则，, 8分
∴.
. 10分
由得，则，
∴，由可解得.
综上，存在常数，使总成立.