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- 2021-06-04 发布
专题11 直线与圆锥曲线的位置关系
专题点拨
1．弦长公式：斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则截得的弦长: |AB|＝=·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)．
2. 涉及焦点弦问题：一般要联想圆锥曲线的轨迹定义加以分析求解.
涉及中点弦及直线的斜率问题：需要利用“根与系数的关系”求解．
3.在直线与圆锥曲线的问题中，若直线的斜率不存在且符合题意时，则需要优先考虑斜率不存在的情况．既克服遗漏，又可获得一般性解答的启示.
4.涉及存在性问题:一方面，要结合轨迹定义和曲线性质讨论；另一方面，还要结合问题情境具体分析，并加以推理论证.
真题赏析
(2018·上海)设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），
则|BF|==t+2，
∴|BF|=t+2；
方法二：由题意可知：设B（t，2t），
由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；
（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，
∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，
D（，），
kQF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），
联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，
解得：x=，x=6（舍去），
∴△AQP的面积S=××=；
（3）存在，设P（，y），E（，m），则kPF==，kFQ=，
直线QF方程为y=（x﹣2），∴yQ=（8﹣2）=，Q（8，），
根据+=，则E（+6，），
∴（）2=8（+6），解得：y2=，
∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．
例题剖析
【例1】椭圆．
（1）若抛物线的焦点与的焦点重合，求的标准方程；
（2）若的上顶点、右焦点及轴上一点构成直角三角形，求点的坐标；
（3）若为的中心，为上一点（非的顶点），过的左顶点，作，交轴于点，交于点，求证：．
【解析】（1）椭圆中，，
，
，
的焦点坐标为，，，，
抛物线的焦点与的焦点重合，
，且抛物线的焦点在轴上，
的标准方程；
设直线的方程为，直线的方程为，
由，消可得，
解得，或，
则
则点的坐标为， ，
对于直线方程，令，可得
，
，，
由，解得，
解得或，
，
．
【例2】对于双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，定义C1：＋＝1为其伴随曲线，记双曲线C的左、右顶点为A、B.
(1)当a>b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C1的半焦距为c1，若c＝2c1，求双曲线C的渐近线方程；
（3）在（1）的条件下，且，点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点和，试问：以线段为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．
【解析】（1）双曲线的渐近线方程为：
即，所以，
从而，，
所以．
（2）设，，则由条件知：，，即．
所以，，
代入双曲线方程知：
双曲线的方程：
（3）因为，所以，由（1）知，，所以的方程为：，
令，，所以，，令，所以，，令，所以，
故以为直径的圆的方程为：，
即，
即，
若以为直径的圆恒经过定点
于是
所以圆过轴上两个定点和.
9.设椭圆的两个焦点是和，．
（1）若椭圆与圆有公共点，求实数的取值范围；
（2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；
（3）对（2）中的椭图，直线与交于不同的两点、，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的值．
【解析】（1）由已知，，
方程组有实数解，从而，
故，所以，即的取值范围是，
（2）设椭圆上的点到一个焦点的距离为
．．
当时，，（可以直接用结论）
于是，，解得，．
所求椭圆方程为．
（3）由得，
设，、，，
，
线段的中点为，，
又线段的垂直平分线恒过点，
，
整理可得，
解得，或，
故实数的值为或．
10.已知椭圆的中心为原点，长轴在轴上，左顶点为，上、下焦点分别为，，线段，的中点分别为，，且△是斜边长为2的直角三角形．
（1）若点在椭圆上，且为锐角，求的取值范围；
（2）过点作直线交椭圆于点，且，求直线的方程．
【解析】（1）设椭圆方程为，，由题意可得，，
则，
故椭圆的方程为，
由，，
由为锐角，
，且与不共线，
，且，
，
，且，
故的取值范围为，，；
11.已知椭圆的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆的上顶点，为中点，为坐标原点，连接并延长交椭圆于，,求的值；
（3）若原点到直线的距离为，，当时， 求的面积的范围.
【解析】（1）
又，
故椭圆方程为
（2）过，
，
，则
,,代入椭圆方程，
得，即，所以
（3）原点到直线的距离为1，
设
联立
由式知，
，得
令
.