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- 2021-06-04 发布
【2017辽宁大连双基测试】选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，点是曲线（）上的动点，，线段的中点为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）若轨迹上点处的切线斜率的取值范围是，求点横坐标的取值范围．
【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）由，得，
设，，则，即，
代入，
得，∴；
（不写累计扣1分）
选修4-5：不等式选讲
设函数．
（Ⅰ）若最小值为4，求的值；
（Ⅱ）求不等式的解集．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）不等式解集为．
【解析】（Ⅰ），
解得．
（Ⅱ）当时，，；
当时，，，
∴不等式解集为． 学科*网
【2017哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验联考】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线：，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求的极坐标方程和的普通方程；
（Ⅱ）把绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到直线，与交于，两点，求．
【答案】（I）为，为；（II）.
【解析】试题分析：
试题解析：
选修4-5：不等式选讲
已知，，函数的最小值为4．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最小值．
【答案】（I）；（II）.
【2017重庆一调】在直角坐标系中，曲线（为参数，），曲线（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，记曲线与的交点为.
（Ⅰ）求点的直角坐标；
（Ⅱ）当曲线与有且只有一个公共点时，与相较于两点，求的值
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）17.
【解析】试题分析：（1）将 转化为普通方程，解方程组可得 的坐标；（2） 为圆，当有一个公共点时，可求得参数 的值，联立的普通方程，利用根与系数的关系可得的值。
解：（Ⅰ）由曲线可得普通方程.
由曲线可得直角坐标方程：.
由得，
（Ⅱ）曲线（为参数，）消去参数可得普通方程：
，圆的圆心半径为，
曲线与有且只有一个公共点，，即，
设
联立得
.
23. 设的最小值为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
当且仅当时，即等号成立，
的最小值为.
【2017江西七校联考】选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心，半径
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若，直线l的参数方程为（t为参数），点P的直角坐标为（0，2），直线l交圆C与A，B两点，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
选修 4-5：不等式选讲
已知函数，．
(1)若当时，恒有，求的最大值；
(2)若不等式有解，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【2017福建莆田质检】在直角坐标系中，圆的方程为.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出圆的参数方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)设点位圆上的任一点，求点到直线距离的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 圆的参数方程为（为参数）；直线的普通方程为; （Ⅱ）.
【解析】试题分析：（1）已知圆的圆心，半径，很容易得其参数方程；利用普通方程与极坐标的关系可得的普通方程；（2）由点到直线的距离公式，设 ，知直线的普通方程代入公式得 ，求得其取值范围。
（Ⅰ）圆的参数方程为 （为参数），
直线的普通方程为.
（Ⅱ）点为圆上任一点，可设点，
则点到直线的距离为
，
因为，可得，
所以点到直线的距离的取值范围为 .
已知函数.
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)设的最小值为，若的解集包含，求的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 或; （Ⅱ）.
当时，取得最小值2，即，
因的解集包含，即在上恒成立
记，其在上单调递减，
当时，取得最大值1，所以，
所以的取值范围是.
【2017河北唐山一模】已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，与交于不同的两点．
（1）求的取值范围；
（2）以为参数，求线段中点轨迹的参数方程．
【答案】（1）；（2）（为参数，).学*科网
【解析】试题分析：（1）求解曲线 的直角坐标方程，将直线 的参数方程代入，得到关于 的一元二次方程，由题意差别式大小于零，可得 的取值范围；（2）利用参数的几何意义即可求线段 中点轨迹的参数方程。
（为参数，)
已知，．
（1）求的最小值；
（2）是否存在，满足，并说明理由．
【答案】（1）；（2）不存在.
【解析】试题分析：（1）由基本不等式的性质可求出 的最小值；（2）根据基本不等式的性质得到 的最大值为，从面判断出结论即可。
试题解析：
（1），
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值为2．
（2）不存在．
因为，
所以，又，所以．
从而有，
因此不存在，满足．
【2017广东汕头一模】选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）.
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（普通方程）；
（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.
【答案】（1）；（2）或．学#科网
【解析】试题分析：
即；
（2）将代入圆的方程得.
化简得．
设两点对应的参数分别为，则
∴ ，
.
∴，
∵∴或．
选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
∴的范围是.
【2017河北张家口期末】选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为，利用，即可得出；
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数，，的最小值为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，且．求证：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析. 学科*网
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据函数，可得函数的解析式，进而构造方程，可求出的值；（Ⅱ）若，，要证，即证平方即可得结论.
试题解析：
（Ⅰ）解：∵
∴，
∴．
（Ⅱ）证明：要证，即证．
∵，，
∴，
即，∴，
∴．
【2017甘肃兰州一诊】选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)，以原点为极点，正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为
．
(1)求圆的直角坐标方程与直线的普通方程；
(2)设直线截圆的弦长为半径长的倍，求的值．
【答案】（Ⅰ）圆的直角坐标方程为；直线的普通方程为;（Ⅱ）或.
【解析】
∴圆心到直线的距离，
解得或．
选修4-5：不等式选讲
已知函数的定义域为．
(Ⅰ)求的取值范围；
(Ⅱ)若的最大值为，解关于的不等式：．
【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）. 学@科网
【解析】
【2017福建泉州3月质检】选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为．
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）当时，与相交于两点，求的最小值．
【答案】（1）（2）. 学科&网
【解析】（1）由直线的参数方程（为参数），
消去参数得，，
即直线的普通方程为，
由圆的极坐标方程为，得，
将代入(*)得， ，
即的直角坐标方程为.
（2）将直线的参数方程代入得，，
，
设两点对应的参数分别为，
则，
所以，
因为，
所以当时，取得最小值.
【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】
，
又因为，
所以当时， 取得最大值.
又，
所以当时，取得最小值.
选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）若直线与曲线围成一个三角形，求实数的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．
【答案】（1）.（2） 学@科网
【解析】（1）.
即的范围是.
【注：范围正确，不倒扣】
且当时，.
【2017贵州黔东南州模拟】选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，点的坐标为，曲线的方程为；以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线经过点.
(1)求直线和曲线的直角坐标方程；
(2)若为曲线上任意一点，曲线和曲线相交于两点，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数的单调递增区间为.
(1)求不等式的解集；
(2)设，证明：.
【答案】（1）；（2）见解析.
【2017陕西咸阳二模】选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程是（为参数，）．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求．
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：(1) 利用将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，(2)根据直线参数方程几何意义得，所以先将直线参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理得，从而可解得．
试题解析：（I）曲线，即，于是有，化为直角坐标方程为:
（II）方法1: ，即
由的中点为得，有，所以，由 得
方法2:设，则，∵，∴，由 得.
方法3: 设，则由是的中点得，，
∵，∴，知，∴，由 得.
方法4:依题意设直线，与联立得，即，由得 ，因为 ，所以.
选修4-5：不等式选讲
已知函数，且的解集为．
（1）求的值；
（2）若都是正实数，且，求证：．
【答案】(1) ;(2)详见解析.
方法2: ∵
∴由柯西不等式得
整理得
当且仅当，即时取等号. 学科*网
【2017广东广州一模】选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数. 在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线
(Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.
【答案】（I）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（II）.
【解析】试题分析：
(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为，
则点到直线的距离为
当时， ，
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.
法2: 设与直线平行的直线为，
当直线与圆相切时， 得，
解得或(舍去)，
所以直线的方程为.
所以直线与直线的距离为.
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.
选修4－5：不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ) 若，求实数的取值范围;
(Ⅱ) 若R ， 求证：.
【答案】（I）；（II）详见解析.
【解析】试题分析：
试题解析：
解：
(Ⅱ) 因为R ，
所以
.
【2017内蒙呼和浩特一模】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线及曲线的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为（），设与曲线的交点为，求的面积及与交点的极坐标．
【答案】（1），；（2） ,.
【解析】试题分析: （1）根据将直线直角坐标方程化为极坐标方程，先根据三角平方关系将曲
∴，
∵曲线是半径为的圆，
∴，
∴，
解方程组得两直线交点的极坐标为
选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析: （1）由绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求它们的并集，（2）恒成立等价于,由绝对值三角不等式可得,再关键绝对值定义解不等式，可得实数的取值范围．
试题解析:（1）当时，，
【2017广东广雅、江西南昌二中联考】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为（）．
（Ⅰ）设为参数，若，求直线的参数方程；
（Ⅱ）已知直线与曲线交于，，设，且，求实数的值．
【答案】（Ⅰ）（为参数）；（Ⅱ）．
【解析】试题分析：（Ⅰ）由，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再由，得，可得直线的参数方程为（为参数）．（Ⅱ）先根据直线参数方程的几何意义化简条件得，即，再由，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（），并将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，最后利用韦达定理代入条件可解得实数的值．
试题解析：（Ⅰ）将，，代入直线的极坐标方程得直角坐标方程，
再将，代入直线的直角坐标方程，得，
所以直线的参数方程为（为参数）．
因为，所以．
选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）若不等式，对任意的实数，恒成立，求实数的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4．
【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据绝对值定义解不等式解集为，再根据解集相等关系得，解得．（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即，根据绝对值三角不等式可得，再利用变量分离转化为对应函数最值问题：，根据基本不等式求最值：，因此，所以实数的最小值为4．
故，所以实数的最小值为4． 学&科网
【2017湖北黄冈3月质检】在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，斜率为.
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.
【答案】（Ⅰ）， (为参数) （Ⅱ）
【解析】试题分析：（1）根据 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，按倾斜角写出直线参数方程（2）由直线参数方程几何意义得，将直线参数方程代入抛物线方程，结合韦达定理得，，从而，代入可得结果.
试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
点的极坐标为：，化为直角坐标为
直线的参数方程为，即 (为参数)
（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，
已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）若的解集包含集合，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据绝对值的意义，分类讨论，得到不等式组，求解各个不等式组，取并集得到不等式的解集；（2）把的解集包含,转化为当时,不等式恒成立，利用绝对值不等式的意义，即可求解实数的取值范围.
试题解析：（1）当时,,,
上述不等式可化为或或,
解得或或.或或,
原不等式的解集为.
（2）的解集包含,当时, 不等式恒成立,
即在上恒成立,,
即,在上恒成立,
,的取值范围是.
【2017湖北黄冈3月质检】在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，斜率为.
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.
【答案】（Ⅰ）， (为参数) （Ⅱ） 学&科网
直线的参数方程为，即 (为参数)
（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，
整理得：，
显然有，则，，
，，
所以
已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）若的解集包含集合，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2） 学科*网
原不等式的解集为.
（2）的解集包含,当时, 不等式恒成立,
即在上恒成立,,
即,在上恒成立,
,的取值范围是.