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- 2021-06-04 发布
1．函数y＝的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,2)∪(2，＋∞) D．[－1,2)∪(2，＋∞)
解析：选C.由题意知，要使函数有意义，需，即－1＜x＜2或x＞2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C.
2．设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意，x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2 017)＝( )
A．0 B．1
C．2 016 D．2 018
解析：选D.令x＝y＝0，则f(1)＝f(0)f(0)－f(0)＋2＝1×1－1＋2＝2，令y＝0，则f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2 017)＝2 018.故选D.
3．若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝ex
C．f(x)＝ D．f(x)＝ln(x＋1)
4．已知函数f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，则( )
A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)
B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)
C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)
D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)
解析：选B.因为f(x)＝2x＋1，所以f(x－1)＝2x－1.因为函数f(x)的定义域为[1,3]，所以1≤x－1≤3，即2≤x≤4，故f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)．
5．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2 018]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[－1,2 017] B．[－1,1)∪(1,2 017]
C．[0,2 019] D．[－1,1)∪(1,2 018]
解析：选B.要使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2 018，解得－1≤x≤2 017，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2 017]，所以函数g(x)有意义的条件是，解得－1≤x＜1或1＜x≤2 017.
故函数g(x)的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]．
6．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝x3＋3x2 B．y＝
C．y＝xsin x D．y＝log2
7．设函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，则( )
A．m＝1，且f(x)在(0,1)上是增函数
B．m＝1，且f(x)在(0,1)上是减函数
C．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是增函数
D．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是减函数
解析：选B.因为函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，所以f＝f，则(m－1)ln 3＝0，即m＝1，则f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)＝ln(1－x2)，在(0,1)上，当x增大时，1－x2减小，ln(1－x2)减小，即f(x)在(0,1)上是减函数，故选B.
8．若关于x的不等式4ax－1＜3x－4(a＞0，且a≠1)对于任意的x＞2恒成立，则a的取值范围为( )
A. B.
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
9．已知函数y＝a＋sin bx(b＞0且b≠1)的图象如图所示，那么函数y＝logb(x－a)的图象可能是( )
解析：选C.由三角函数的图象可得a＞1，且最小正周期T＝＜π，所以b＞2，则y＝logb(x－a)是增函数，排除A和B；当x＝2时，y＝logb(2－a)＜0，排除D，故选C.
10．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若a＝f(20.3)，b＝f(log4)，c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
解析：选B.函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，
当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，∴f(x)在[0，＋∞)为增函数，
∵b＝f(log4)＝f(－2)＝f(2)，1＜20.3＜2＜log25，
∴c＞b＞a，故选B.
11．函数y＝的定义域为( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C. D.
解析：由log3(2x－1)≥0得2x－1≥1，x≥1.因此函数的定义域是[1，＋∞)，故选A.
答案：A
12．已知函数f(x)＝则f(f(4))的值为( )
A．－ B．－9
C. D．9
答案：C
13．函数y＝lg|x|( )
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
解析：因为lg|－x|＝lg|x|，所以函数y＝lg|x|为偶函数，又函数y＝lg|x|在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y轴对称，可得y＝lg|x|在区间(－∞，0)上单调递减，故选B.
答案：B
14．函数f(x)＝2|log2x|－的图象为( )
答案：D
15．对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
3
7
5
9
6
1
8
2
4
数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N*，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋…＋x2 017＝( )
A．7 554 B．7 540
C．7 561 D．7 564
解析：∵数列{xn}满足x1＝1，且对任意n∈N*，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，∴xn＋1＝f(xn)，
∴由图表可得x2＝f(x1)＝3，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝6，x5＝f(x4)＝1，…，∴数列{xn}是周期为4的周期数列，∴x1＋x2＋…＋x2 017＝504(x1＋x2＋x3＋x4)＋x1＝504×15＋1＝7 561.故选C.
答案：C
16．已知函数y＝sin ax＋b(a>0)的图象如图所示，则函数y＝loga(x＋b)的图象可能是( )
解析：由题图可知00恒成立．设a＝f(－4)，b＝f(1)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(－4)＝f(4)>f(3)>f(1)，即a>c>b，故选C.
答案：C
18．下列区间中，函数f(x)＝|lg(2－x)|在其上为增函数的是( )
A．(－∞，1] B.
C. D．[1,2)
答案：D
19．已知函数f(x)＝ln(1＋x2)，则满足不等式f(2x－1)0，－f
(1)<0，则－f(1)1时，∈(0,1)；当x≤1时，－x－2∈[－3，＋∞)，所以函数f(x)的值域为[－3，＋∞)．
答案：－ [－3，＋∞)
24．若函数f(x)＝2x＋a·2－x为奇函数，则实数a＝________.
解析：依题意得f(0)＝1＋a＝0，所以a＝－1.
答案：－1
25．已知函数f(x)＝＋sin x，则f(－2 017)＋f(－2 016)＋f(0)＋f(2 016)＋f(2 017)＝________.
答案：5
26．已知定义在R上的函数f(x)满足：
①函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称；
②∀x∈R，f＝f；
③当x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)．
则f(2 017)＝________.
解析：由①知f(x)为奇函数．又由②可得f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2 017)＝f(1)＝－f(－1)＝－log2[－3×(－1)＋1]＝－log24＝－2.
答案：－2
27.若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
解析 当x＞0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，
函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，
因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1，
所以实数a的取值范围是0＜a≤1.
答案 (0，1]
28.已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立.当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，给出下列命题：
①f(2)＝0；
②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[－4，4]上有四个零点；
④f(2 014)＝0.
其中所有正确命题的序号为________.
答案 ①②④
29.定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时，f(x)＝－(a∈R).
(1)写出f(x)在[0，1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0，1]上的最大值.
解 (1)∵f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴a＝1，
∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝－.
设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]，
∴f(－x)＝－＝4x－2x，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x－4x.
∴f(x)在[0，1]上的解析式为f(x)＝2x－4x.
(2)f(x)＝2x－4x，x∈[0，1]，
令t＝2x，t∈[1，2]，g(t)＝t－t2＝－＋，
∴g(t)在[1，2]上是减函数，
∴g(t)max＝g(1)＝0，即x＝0，f(x)max＝0.
30.已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－2mx在[2，4]上单调，求m的取值范围.
31.已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0).
(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.
32．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；
当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)解法一 设x2＞x1≥2，f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2＞x1≥2，得x1x2
(x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0.
要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)＜0，
即x1x2(x1＋x2)－a＞0恒成立，则a≤16.
故a的取值范围是(－∞，16]．
解法二 f′(x)＝2x－，要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立，即2x－≥0，则a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．故a的取值范围是(－∞，16]．
33．f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)证明：f(x)是奇函数；
(2)证明：f(x)在R上是减函数；
(3)求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值．
f(－3)＝－f(3)＝6.从而f(x)在区间[－3，3]上的最大值是6，最小值是－6.
34．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性．
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．