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- 2021-06-04 发布
赤峰二中2019-2020学年高二年级上学期数学第一次月考试题（理）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)
1．命题“若，则”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）．
A． B． C． D．0
2．已知命题，命题.若命题是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．方程（3x-y+1）（y-）=0表示的曲线为（ ）
A．一条线段和半个圆 B．一条线段和一个圆
C．一条线段和半个椭圆 D．两条线段
4．若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5．平行四边形ABCD的顶点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1
＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为( )
A．3x－y－20＝0 B．3x－y－10＝0 C．3x－y－12＝0 D．3x－y－9＝0
6．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点为双曲线 右支上一点，分别为左右焦点，若双曲线的离心率为，的内切圆圆心为，半径为2，若，则的值是（ ）A．2 B． C． D．6
9．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，若椭圆上存在异于，两点的点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
11．如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
12．设椭圆与双曲线在第一象限的交点为为其共同的左右的焦点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为_____．
14．设、分别是双曲线的左、右焦点，若点在此双曲线上，且，则__________．
15．函数 , ，对 ， ，使
成立，则 的取值范围是__________．
16．已知椭圆G： 的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点P在椭圆G上，且满足. 当变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于轴对称；
②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；
③的最小值为，
其中，所有正确命题的序号是_____________．
三、 解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）求下列各曲线的标准方程．
(1)长轴长为,离心率为,焦点在轴上的椭圆;
(2)已知双曲线的渐近线方程为,焦距为,求双曲线的标准方程．
18．（12分）已知命题p: 方程有两个大于-1的实数根，已知命题q：关于x的不等式的解集是R,若“p或q”与“” 同时为真命题，求实数a的取值范围
19.（12分）已知直线与双曲线；
（1）当a为何值时，直线与双曲线有一个交点；
（2）直线与双曲线交于P、Q两点且以PQ为直径的圆过坐标原点，求a值。
20．（12分）已知椭圆C以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，
(1)求椭圆C的方程．
(2)斜率为k的直线l过点F且不与坐标轴垂直，直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
21．（12分）已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.
（1）求实数的取值范围；
（2）在x轴上是否存在一个定点M，使得为定值?若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由.
22．（12分）如图所示，椭圆E的中心为坐标原点，焦点在轴上，且在抛物线的准线上，点是椭圆E上的一个动点，△PF1F2 面积的最大值为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过焦点作两条平行直线分别交椭圆E于四个点. 求四边形面积的最大值.
ch参考答案
1．BDACA BCCAB CD
12．依题意有m2﹣4＝a2+4，即m2＝a2+8，
∴ ，
，
解得
.
13．4 14．3或7 15． 16．①③
由题可得因为P在椭圆G上，且满足=>,所以可得P的轨迹为以为焦点的椭圆，故①正确，②存在使得椭圆上满足条件的点可以有四个，分别为以和焦点在x轴的椭圆与焦点为和在y轴上的椭圆的交点，③由题可得椭圆G： ，P的轨迹方程为椭圆： ，联立两方程解得P的坐标： ，故,当b=3时取到最小值2
17．（1）；（2）或.
18．∵方程有两个大于-1的实数根，
∴解得即p：
∵关于x的不等式的解集是R，∴
解得，即q：,∵“P或q”与“” 同时为真命题, ∴p真q假.∴∴解得
19解：（1）直线过定点（0,1），双曲线渐近线方程为
①当直线与双曲线平行时，只有一个交点，此时；
②当时，联立与得：
若直线与双曲线只有一个交点，则，解得
所以，当或时，直线与双曲线有一个交点；
（2）设点，
联立与得：
所以 ，
因为以PQ为直径的圆过坐标原点，所以
所以
解得.
20．Ⅰ ．Ⅱ．
Ⅰ设椭圆方程为，
则
由得
由得代入得，
即，即，或
，，得，
，，
椭圆方程为．
Ⅱ解法一：设，，AB中点，
直线AB的方程为，
代入，整理得，
直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，
则，，
，，
的垂直平分线NG的方程为，
时，，
，，，，
．
解法二：设，，AB中点，
由，得，
斜率，
又，，
，得，
在椭圆内，即，
将代入得，
解得
，
则AB的垂直平分线为，时，．
21．（1）由已知条件知:直线过椭圆右焦点.
当直线与轴重合时，.
当直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.
设，由根与系数的关系得，.
所以.又由得，所以
，解之得.
综上，实数的取值范围是. （7分）
（2）设，则
为定值，所以，解得.
故存在定点，使得为定值.
（经检验，当与轴重合时也成立） （13分）
22．（Ⅰ）设椭圆方程为
焦点在抛物线的准线上，
当点在短轴顶点时面积最大，此时
椭圆方程为
（Ⅱ）易知四边形为平行四边形，则，
而
又因为，
设，则
在上是增函数，
所以，当时， 取最大值6，此时即