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- 2021-06-04 发布
会宁四中2016-2017学年度第二学期高二级中期考试
数学试卷（理科）
命题教师：
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1、下列函数中，在(2，＋∞)内为增函数的是( )
A．3sin x B．(x－3)ex C．x3－15x D．ln x－x
2、函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x) ( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
3、函数在上的最大值和最小值分别为（ ）
A． B． C． D．
4、下列各式中错误的是( )
A．exdx＝－1 B. cos φdφ＝1
C．sin φdφ＝1 D．dx＝1
5、若dx＝，则b＝( )
A． B．3 C．2 D．4
6、若，则等于( )
A．sinx－cosx B．cosx－sinx C．cosα＋sinx D．2sinα＋cosx
7、做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e B．e－1 C. D．e
8、数列，，，，…中的第五项为( )
A. B. C. D.
9、下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤
类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④
C．②④⑤ D．①③⑤
10、若a－2i＝bi＋1，(a，b∈R)，则a2＋b2等于( )
A．0 B．2 C．5 D.
11、在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．2＋4i B．8＋2i C．4＋8i D．4＋i
12、设a，b为实数，若复数＝1＋i，则( )
A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1 C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13、一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有 种排法（用排列数或者组合数作答）．
14、设a＞0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝__________.
15、用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)，从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需要增乘的代数式为 .
16、若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．
17（本题10分）已知f(x)是一次函数且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求f(x)的解析式为.
18（本题12分）设复数z＝1＋i，且＝1－i，求实数a，b的值．
19（本题12分）已知曲线y＝.，求曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程。
20（本题12分）设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
21（本题12分）用数学归纳法证明12－22＋32－42＋52－…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
22（本题12分）已知是函数的一个极值点（）．
（I）求实数的值；
（II）求函数在的最大值和最小值．
高二级中期考试数学答案（理科）
一、选择题
1、B 2、C 3、B 4、A 5、C
6、C 7、D 8、B 9、D 10、C 11、A 12、A
二、填空题
13、AA 14、 15、2(2k＋1) 16、(－1,0]
三、解答题
17、 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则xf(x)＝ax2＋bx，
f(x)dx＝＝＋b＝5， ①
xf(x)dx＝＝＋＝， ②
联立①②得⇒，
∴f(x)＝4x＋3，
18、因为z＝1＋i，所以z2＋az＋b＝(a＋2)i＋a＋b，z2－z＋1＝i，所以＝＝(a＋2)－(a＋b)i.又＝1－i，所以解得
19、设切点为(x0，y0)，由y＝，得y′|x＝x0＝.
∵切线与y＝2x－4平行，∴＝2，∴x0＝，∴y0＝.
则所求切线方程为y－＝2，即16x－8y＋1＝0.
20、(1)f′(x)＝3x2－2x－1. 令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↘
极大值
极小值
↘
所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，
有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，
所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0.
即＋a<0或a－1>0.∴a<－或a>1，
∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
21、 (1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．
(2)假设当n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1) 2－
[2(k＋1)]2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2
＝－2k2－5k－3＝－(k＋1)(2k＋3)
＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]．
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N*，等式成立．
22、（I）由可得
……（4分）
∵是函数的一个极值点，∴
∴，解得 ……………（6分）
（II）由，得在递增，在递增，
由，得在在递减
∴是在的最小值； ……………（8分）
， ∵
∴在的最大值是． ……………（12分）