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- 2021-06-04 发布
吉林省实验中学2016---2017学年度下学期
高二年级数学（理）期中考试试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知是虚数单位，复数，则复数的虚部是
（A） （B） （C） （D）
（2）曲线在点处的切线的倾斜角为
（A） （B） （C） （D）
（3）函数是上的连续可导函数，其导函数为， 已知，则的极值点为
（A）， （B） （C） （D）
（4）某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数，则
（A） （B） （C）3 （D）
（5）某校食堂的原料费支出与销售额（单位：万元）之间有如下数据，
2
4
5
6
8
25
35
55
75
根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的的值为
（A）60 （B）50 （C）55 （D）65
（6） 二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积）
，观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度
（A） （B） （C） （D）
（7）如下五个命题:
①在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，在对女大学生的身高预报体重的回归分析数据中，算得，表明“女大学生的体重差异有64%是由身高引起的”
②随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越大；
③正态曲线关于直线对称,这个曲线只有当时,才在轴上方；
④正态曲线的对称轴由确定，当一定时，曲线的形状由决定，并且越大，曲线越“矮胖”；
⑤若随机变量，且则；
其中正确命题的序号是
（A）②③ （B）①④⑤ （C）①④ （D）①③④
（8）用数学归纳法证明假设时成立,当时,左端增加的项数是
（A）1项 （B）项 （C）项 （D）项
（9）袋中装有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次.若每次抽到各球的机会均等，事件表示“三次抽到的号码之和为6”，事件表示“三次抽到的号码都是2”，则
（A） （B） （C） （D）
（10）若幂函数的图象过点，则函数的单调递减区间为
（A） （B） （C） （D）
1
2
3
o
（11）如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令是的导函数，则
（A）－1 （B）0 （C）2 （D）4
（12）已知定义在上的可导函数，满足①，②，(其中是的导函数，
是自然对数的底数)，则的范围是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
（13）曲线在点处的切线方程为 ．
（14）计算由曲线所围成的封闭图形的面积 ．
（15）已知是函数的导函数，若在处取到极大值，则实数的取值范围是 ．
（16）已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的有 (填上序号) ．
① ②
③ ④
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（其中第17题10分，第18~22题每题各12分）
1
2
3
o
1
4
3
4
6
2
5
5
6
（17）某种设备的使用年限(年)和维修费用(万元),有以下的统计数据:
3
4
5
6
2.5
3
4
4.5
（Ⅰ）画出上表数据的散点图；
（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出关于的线性
回归方程；
（Ⅲ）估计使用年限为10年，维修费用是多少万元？
（附：线性回归方程中，其中，）．
（18）用数学归纳法证明对一切
（19）某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的列联表：
爱好
不爱好
合计
男
20
30
50
女
10
20
30
合计
30
50
80
（Ⅰ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生，设这3人中爱好羽毛球运动的人数为，求 的分布列，数学期望及方差；
（Ⅱ）根据表中数据，能否有充分证据判断爱好羽毛球运动与性别有关？若有，有多大把握？
0.500
0.100
0.050
0.010
0.455
2.706
3.841
6.635
附：
（20）已知是虚数单位．
（Ⅰ）复平面内表示复数 的点位于第四象限，求满足条件的取值集合；
（Ⅱ）复数 ， ，并且，求的取值范围．
（21）已知函数．
（Ⅰ）当时,求的单调区间；
（Ⅱ）若的图象与的图象有3个不同的交点,求实数的取值范围．
（22）设函数，曲线在点处的切线与直线垂直.
（Ⅰ）求的值；[来源]
（Ⅱ）若，恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
吉林省实验中学2016---2017学年度下学期
高二年级数学（理）期中试题答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
C
B
D
B
A
D
B
D
A
C
B
D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 14. 18 15.（-1，0） 16. ②③④
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（其中第17题10分，第18~22题每题各12分）
17. 解：
1
2
3
o
1
4
3
4
6
2
5
5
6
(1) (2)；
所求的线性回归方程：
(3)当时，万元
18.证明：(1)当时,左边=1,右边=,不等式成立;
(2)假设当时，不等式成立，
即
则当时，要证成立
只要证即可
因为
所以
即成立，
所以当时不等式成立.
由（1）（2）知，不等式对一切都成立.
19．解：
(1)任一学生爱好羽毛球的概率为,故.
;
;
的分布列为
0
1
2
3
(2)
故没有充分证据判断爱好羽毛球运动与性别有关.
20．解：(1) 解集：
(2) 根据题意：，且
即：=
时，
时，
的取值范围是
21．解：(1)当时，函数
求导，得
令，得
当时，，是单调递增函数；
当时，，是单调递减函数；
当时，，是单调递增函数；
综上所述： 的单调递减区间：
的单调递增区间：
(2)令=
,
当时，，是减函数；
当时，令，是增函数；
当时，，是减函数；
在处取得极小值
在处取得极大值
若函数的图象有3个不同的交点，则有3个不同的零点.
,即得的取值范围为
22．解：(1)
(2),
即
设,即
①若,,这与题设矛盾(舍)
②若,方程的判别式,
当,即时,,在上单调递减,
,即不等式成立;
当时,方程的根
,
当单调递增, ,与题设矛盾(舍)
综上所述:
(3)证明:由(2)知,当时,成立,
不妨令,
所以
故
令
累加即得结论.