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- 2021-06-04 发布
广西省广西阳朔中学2018届高三第三次月考
数学（理）试题
1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】由题意可得，在复平面内对应的点为，在第四象限，选D
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
则
故选
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，∴，∴.选B。
4. 的展开式的第4项的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得的展开式的第4项为，选A.
5. 设满足约束条件，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线与的交点为，作出不等式组表示的可行域，由图可知，的取值范围为.选B。
6. 若函数与的图象有一条相同的对称轴，则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中，与互为同轴函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，故其图象的对称轴为。在所给的选项中，只有函数的图象关于直线对称。选D。
7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）
A. B. 8 C. D. 12
【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是由一个三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，故其体积为 .选C.
8. 设向量满足，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，∴，∴，∴
，则，又，故向量在向量方向上的投影为 .选A.
9. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）
A. 7 B. 10 C. 13 D. 16
【答案】D
【解析】，1不是质数，；，4不是质数，；，7是质数，；，10不是质数，；，13是质数，，，故输出的.选D.
10. 过双曲线：的右焦点作轴的垂线，与在第一象限的交点为，且直线的斜率大于2，其中为的左顶点，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得点A的坐标为，点M的坐标为。又直线的斜率大于2，所以
，故，解得。
点睛：
求双曲线的离心率（或范围）时，将题目中所给的双曲线的几何关系转化为关于基本量
的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式可求得离心率的值或取值范围．
11. 有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是底面半径的2倍，若圆柱的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是底面半径的（ ）
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
【答案】C
【解析】设圆柱的高为，底面半径为，圆柱的外接球的半径为，则.
【点睛】
熟练掌握圆锥的侧面积公式（其中是母线长，r是底面半径）和圆柱的表面积公式（其中是母线长，r是底面半径）是解本题的键。
12. 已知表示不大于的最大整数，若函数在上仅有一个零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】表示不大于的最大整数，若函数在上仅有一个零点，
由，讨论，即
可得
由，可得，求得
若，即
可得
由，可得
求得
则的取值范围是
故选
13. 抛物线的焦点到直线的距离为5，则_________．
【答案】6
【解析】由题意可得，∴.填6。
14. 科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称.假设甲每次通过科目二的概率均为，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为__________．
【答案】
【解析】甲第3次考试才通过科目二，则前两次都未通过，第3次通过，故所求概率为.填
15. 已知曲线在处的切线经过点，则__________．
【答案】
【解析】由，得，
∴，∴
【点睛】
导函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在处的切线是,若求曲线y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点,把(m,n)代入即,求出切点，然后再确定切线方程.
16. 的内角所对的边分别为，已知，且，有下列结论：
①；
②；
③当，时，的面积为；
④当时，为钝角三角形.
其中正确的是_________. （填写所有正确结论的编号）
【答案】①②④
【解析】，∴，
故可设，，，.，∴，
则，当时，，故为钝角三角形.
面，
又，∴.
，∴，即，∴.当，时，的面积为，故四个结论中，只有③不正确.填①②④。
【点睛】解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题形，要注意三角形内角和为来减少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差小于第三边来构造不等关系是常用处理技巧。
17. 已知是函数的前项和，.
（1）证明：当时，；
（2）若等比数列的前两项分别为，求的前项和.
【答案】（1）证明见解析.（2）.
【解析】试题分析：（1）前n项和，可以理解成加上一个n-1项的等差数列求和。（2）由待定系数法，设等比数列的首项与公比分别为，由，可求得数列，进而求得前项和.
试题解析：（1）证明：当时，，
∴.
（2）解：由（1）知，，∴的公比，
且，∴.
18. 为了检测某轮胎公司生产的轮胎的宽度，需要抽检一批轮胎（共10个轮胎），已知这批轮胎宽度（单位：mm）的折线图如下图所示：
（1）求这批轮胎宽度的平均值；
（2）现将这批轮胎送去质检部进行抽检，抽检方案是：从这批轮胎中任取5个作检验，这5个轮胎的宽度都在内，则称这批轮胎合格.如果抽检不合格，就要重新再抽检一次，若还是不合格，这批轮胎就认定不合格.
（i）求这批轮胎第一次抽检就合格的概率；
（ii）记为这批轮胎的抽检次数，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）这批轮胎宽度的平均值为（2）（i）.
（ii）的分布列为
.
【解析】试题分析：（1）由平均值的定义求平均值，即。（2）由频率估计概率，这批轮胎宽度都在内的个数为6，总数为10，由古典概型可得。由题意可知的可能取值为1,2，，由+=1，可算出，写出分布列。
试题解析：（1）这批轮胎宽度的平均值为
.
（2）这批轮胎宽度都在内的个数为6，
故这批轮胎第一次抽检就合格的概率为.
的可能取值为1,2，，.
则的分布列为：
故.
19. 如图，在四棱锥中，，，，是以为斜边的等腰直角三角形，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析.(2) .
【解析】试题分析：（1）通过证明平面来证明平面平面。（2）由OP、OA、OB两两垂直，所以建立空间直角坐标系利用空间向量求二面角。
试题解析：（1）证明：是以为斜边的等腰直角三角形，
∴.
又，，∴平面，
则，又，，
∴平面，
又平面，∴平面平面.
（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
则，，
设是平面的法向量，
则，即，
令得.
由（1）知，平面的一个法向量为，
∴.
由图可知，二面角的平面角为锐角，
故二面角的平面角的余弦值为.
【点睛】
证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；
20. 已知中心为坐标原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为4，且椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于两点，，求直线的方程.
【答案】（1）.（2）.
【解析】试题分析：（1）设椭圆的标准方程，由c=2,及，可解得。（2）设直线的方程为与椭圆组方程组，由向量坐标运算及韦达定理可求得参数k.
试题解析;（1）设椭圆的方程为，
，∴，∴，又，解得，，
故椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，
由得，
设，，则，，
，∴，∴，
∴，则，
又，∴，即，，∴.
故直线的方程为.
【点睛】当直线与椭圆相交时得到与交点坐标关系式时（如本题，），我们常结合韦达定理，三个式子消去，得到一个关于参数的等式，甚至解出参数，但要注意检验判别式是否成立。
21. 已知函数.
（1）若在上递增，求的取值范围；
（2）证明：.
【答案】（1）或.（2）证明见解析.
【解析】试题分析：求导得，令导函数等于零求得极值点，给出单调增区间，进而求得范围（2）分类讨论不同取值范围内不等式成立，当时显然成立，当
时去绝对值利用导数证明
解析：（1），
令，得，
令，得或，
∴在，上递增
∵在上递增，
∴或.
（2）证明：当时，显然成立
当时，，
在上递增，且
∴，从而在上递减，
∴，
∴，即
综上，.
点睛：本题考查了运用导数求增区间时参量的范围以及证明不等式恒成立问题，在遇到绝对值问题时要分类讨论去绝对值，然后给出新函数，利用导数求得单调性，从而证明不等式恒成立
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点是曲线在极坐标系中的任意一点.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析.（2）
.
【解析】试题分析：（1）先由圆的参数方程转化为普通方程，再转化为圆的极坐标方程。（2）由（1）知，及均值不等式，，∴，所以，.
可求得的取值范围。
试题解析：（1）证明：由（为参数），得，
即，
故曲线的极坐标方程为，
即.
（2）解：，∴（当且仅当时取等号），
∴，∴.，∴.
23. 已知函数的一个零点为2.
（1）求不等式的解集；
（2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.
【答案】（1）.（2）
【解析】试题分析：
（1）由函数的零点为2可得，故不等式化为
，然后分类讨论去掉绝对值化为不等式组处理，可得解集为。（2）画出函数的图象，利用数形结合解题即可。
试题解析：
（1）由题意得，，得，
∴不等式即为，
∴或或，
解得或或，
综上可得，
所以不等式的解集为.
（2）由（1）得，
作出函数的图象，如图所示，
由于直线过定点，
当此直线经过点时，可得；当此直线与直线平行时，可得.
结合图象可知，当直线与函数的图象有公共点时，或.
故实数的范围为.