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- 2021-06-04 发布
2017-2018学年陕西省渭南市澄城县高二下学期期中考试
理科数学（选修2-2）试题
注意事项：
1．考试时间120分钟，试题分值120分。
2．请将第Ⅰ卷选择题答案用2B铅笔填涂在机读卡上，第Ⅱ卷非选择题答案填在答题纸上。
3．答题前先填好密封线内的各项内容。
第Ⅰ卷 选择题（共48分）
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目的要求)
1. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
A．3 B．2 C．1 D.
2. 若复数满足，其中为虚数单位，则等于
A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i
3. 一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向
作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为
A. B. C. D．
4. 设曲线在点(，1)处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数 a等于
A．－1 B. C．－2 D．2
5. 若复数满足，则的虚部为
A．－4 B． C．4 D.
6． 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为
高二理科数学（选修2-2）试题 第1页 （共4页）
A． B． C．2 D．4
7. 函数的递减区间为
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
8．已知f(x)＝1＋x－sinx，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是
A．f(2)>f(3)>f(π) B．f(3)>f(2)>f(π)
C．f(2)>f(π)>f(3) D．f(π)>f(3)>f(2)
9. 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f /(x)，且函数y＝(1－x)f /(x)的图像如图所示，
则下列结论中一定成立的是
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
10. 函数，若直线l过点(0，－1)，并与曲线相切，则直线l的方程
A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
11．设动直线x＝m与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于M，N，则|MN|的最小值为
A. B.
高二理科数学（选修2-2）试题 第2页 （共4页）
C． D．
12．如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(8,2)为
…
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共72分）
二、填空题(共4个小题,每小题4分,共分16分.答案填在题中横线上)
13．曲线在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于_______．
14. 某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系,( x>0 )，为使
耗电量最小，则速度应定为________．
15．已知函数在[0,1]上的最小值为，则实数m的值为________．
16．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙
的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡
片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字
是________．
三、解答题(6个大题,共56分.解答应有必要的过程)
17. (9分)设函数f(x)＝lnx－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1< ．高二理科数学（选修2-2）试题 第3页 （共4页）
高二理科数学（选修2-2）试题 第4页 （共4页）
18．(9分)设函数f(x)＝alnx－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在[，e]上的最大值．
19. (9分)已知a∈R，函数f(x)＝＋lnx－1.
求当 时.f(x)在区间(0，e]上的最小值．
20.( 9分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与x轴有两个不同的交点，若
f(c)＝0，且时，f(x)>0.
(1)证明：是函数f(x)的一个零点；
(2)试用反证法证明.
21. (10分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．求函数f(x)的单调区间；
22. (10分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，
即f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a
＝2x2－2x＋a＋a.
因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，
所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，从而得a＋a≥.
(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；
(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明．
2017—2018学年（下）期中教学质量检测
高二理科数学（选修2-2）试题参考答案及评分标准
一 (每题4分) ABCAD DBDDB AC
二 (每题4分) 40 2 1和3
三 解答题
17.(9分)解 由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
当00，f(x)是增加的；当x>1时，f′(x)<0，
f(x)是减少的． (5分)
(2)证明 由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.
所以当x≠1时，ln x0，得≤x<1，
令f′(x)<0，得10，函数f(x)在区间(a，e]上是增加的， (7分)
所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值lna； (9分)
20.(9分)证明 (1)∵f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，
∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，
又x1x2＝，∴x2＝(≠c)，
∴是f(x)＝0的一个根．
即是函数f(x)的一个零点． (4分)
(2)假设0，由00，
知f()>0，与f()＝0矛盾，∴≥c，
又∵≠c，∴>c. (9分)
21.(10分)解(1)f′(x)＝－a (x>0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的递增区间为(0，＋∞)．[2分]
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
当00；
当x>时，f′(x)＝<0，
故函数f(x)的递增区间为，
递减区间为 .[8分]
综上可知，当a≤0时，函数f(x)的递增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，函数f(x)的递增区间为，递减区间为 .[10分]
22.((10分) (1)解 若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，
则a＋a＋…＋a≥. (4分)
(2)证明 构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2.
即f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a
＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a，
因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0， (8分)
所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，
从而得a＋a＋…＋a≥. (10分)