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- 2021-06-03 发布
贵州省兴义中学 2017－2018 学年度第一学期
高二半期考试数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1．“ ”是“ ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．命题 ， 的否定是（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．同时掷两个骰子，则向上的点数和为 8 的概率是（ ）．
A． B． C． D．
5．根据秦九韶算法求 时 的值，则 为（ ）．
A． B． C． D．
6．从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )．
A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球
C．至少有一个黑球与至少有 1 个红球 D．恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球
7．.在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 顶点 A（-4，0）和 C（4，0）顶点 B 在椭圆
=1 上，则 =（ ）
A. B. C. D.
8．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名．现用分层抽样的
方法在这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6 名，则在高二年级
的学生中应抽取的人数为( )．
1x = 2 1x =
:p x∀ ∈R 2 1 0x + ≥
:p x¬ ∀ ∈R 2 1 0x + < :p x¬ ∃ ∈R 2 1 0x + <
:p x¬ ∃ ∈R 2 1 0x + ≥ :p x¬ ∃ ∈R 2 1 0x + ≤
2 2
14 10
x y
k k
+ =− − x k
(4, )+∞ (4,7) (7,10) (4,10)
1
6
7
36
5
36
1
4
1x = − 4 3 2( ) 4 3 6 1f x x x x x= + − + − 2v
1− 5− 21 22−
A．6 B．8 C．10 D．12
9．在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 P，并以线段 AP 为边作正方形，这个正方形的面积介
于 25cm2 与 49 cm2 之间的概率为( )．
A． B． C． D．
10．编号为 1，2，3 的三位学生随意坐入编号为 1，2，3 的三个座位，每位学生坐一个座位，
则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率( )．
A．2
3 B．1
3 C．1
6 D．5
6
11．若如图所示的程序框图输出的 S 的值为 126，则条件①为( )．
A．n≤5?
B．n≤6?
C．n≤7?
D．n≤8?
12．.已知 F1，F2 分别是椭圆 mx2+y2=m（0＜m＜1）的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，若
的最小值为 ，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．命题“若 ，则 ”的逆否命题是
14．如图，矩形长为 5，宽为 3，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，
数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗，以此实验数据为依据可以估
计出椭圆的面积约为 （结果用分数表示）．
15.点 P 是椭圆 + =1 上一点，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1||PF2|=12，则
∠F1PF2 的大小 ______ ．
16．椭圆 的右焦点为 F，过 F 的直线交椭圆于 A，B 两点，点 C 是点 A
5
1
5
2
5
4
10
3
2 1x < 1 1x− < <
关于原点 O 的对称点，若 CF⊥AB 且 CF=AB，则椭圆的离心率为 ______ ．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. （本小题满分 10 分）
已知圆 和点 A（2，0），过 A 作圆的割线，交圆于 B、C 两点，M 是弦 BC 的
中点，求点 M 的轨迹方程。
18．（本小题满分 12 分）
命题 p：关于 x 的不等式 ，对一切 恒成立；
命题 q：函数 是增函数．若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求实数 a 的取值
范围．
19. （本小题满分 12 分）
某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 名学生，将其数学成绩（均为整数）分
成六段 ， … 后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回
答下列问题：
(Ⅰ)求分数在 内的频率，并补全
这个频率分布直方图；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为
的学生中抽取一个容量为 的样本，
将该样本看成一个总体，从中任取 人，
求至多有 人在分数段 的概率.
20. （本小题满分 12 分）
已知椭圆 的离心率 ，焦距为 ．
122 =+ yx
2 2 4 0x ax+ + ＞ x∈R
( ) (3 2 )xf x a= −
60
[ )50,40 [ )60,50 [ ]100,90
[ )70,80
[ )80,60 6
2
1 [ )80,70
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 2
2e = 2
第 19 题
图
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知椭圆 与直线 相交于不同的两点 ，且线段 的中点不在圆
内，求实数 的取值范围．
21 . （本小题满分 12 分）
一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1，2，3，4．
（1）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个
球，该球的编号为 n，求 n＜m＋2 的概率．
22．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 的右焦点为 F（1，0），且经过点
（1）求椭圆 P 的方程；
（2）已知正方形 ABCD 的顶点 A，C 在椭圆 P 上，顶点 B，D 在直线 7x-7y+1=0 上，求该正方
形 ABCD 的面积．
C
C 0x y m− + = ,M N MN
2 2 1x y+ = m
贵州省兴义中学 2017－2018 学年度第一学期
高二半期考试数学试卷答案
一、选择题
ABCC BDDB ABBB
二、填空题
13．若 x ≤-1 或 x ≥1,则 x2≥1 14．
15. 60° 16．
三、解答题
17 ． 解 ： 设 M （ x ， y ） ， 利 用 平 几 知 识 知 ： OM ⊥ AM ， = （ x ， y ） ，
，由 · =0，即
因此，所求的方程 （ ）
18．解：p 为真：Δ=4a2－16＜0 －2＜a＜2，
q 为真：3－2a＞1 a＜1，
因为 p 或 q 为真，p 且 q 为假 ∴p，q 一真一假．
当 p 真 q 假时， 1≤a＜2，
当 p 假 q 真时， a≤－2，
∴a 的取值范围为 ．
19 解：（Ⅰ）分数在 内的频率为：
，故 ，
如图所示：
（Ⅱ）由题意， 分数段的人数为：
人；
⇒
⇒
⇒
⇒
51
5
OM
),2( yxAM −= OM AM 0)2( 2 =+− yxx
1)1( 22 =+− yx 2
10 <≤ x
2 2
1
a
a
−
＜ ＜
≥
2 2
1
a a
a
−
或≥ ≤
＜
[1 2) ( 2]−∞ −， ，
[ )70,80
1 (0.010 0.015 0.015 0.025 0.005) 10− + + + + ×
1 0.7 0.3= − = 0.3 0.0310
=
[ )60,70 0.15 60 9× =
分数段的人数为： 人；
∵在 的学生中抽取一个容量为 的样本，
∴ 分 数 段 抽 取 2 人 ， 分 别 记 为 ； 分 数 段 抽 取 4 人 ， 分 别 记 为
；
设从样本中任取 人，至多有 1 人在分数段 为事件 ，则基本事件空间包含的基本
事件有：
、 、 、 、 、……、 共 15 种，
则事件 包含的基本事件有：
、 、 、 、 、 、 、 、 共 9 种，
∴
20. 解:（1）由题意知 解得 又 ，
．
故椭圆的方程为 ．
（2）联立得 消去 可得
则 ．
设 ，则 则
∴ 中点的坐标为 ，
因为 的中点不在圆 内，
所以 或 ，
[ )70,80 0.3 60 18× =
[ )80,60 6
[ )60,70 ,m n [ )70,80
, , ,a b c d
2 [ )80,70 A
( , )m n ( , )m a ( , )m b ( , )m c ( , )m d ( , )c d
A
( , )m n ( , )m a ( , )m b ( , )m c ( , )m d ( , )n a ( , )n b ( , )n c ( , )n d
9 3( ) 15 5P A = =
2 ,2 2,2
ce ca
= = = 2, 1,a c= = 2 2 2a b c− =
2 22, 1a b∴ = =
2
2 12
x y+ =
2
2
0,
1,2
x y m
x y
− + = + =
y 2 23 4 2 2 0.x mx m+ + − =
( )2 216 12 2 2 0 3 3m m m∆ = − − > ⇒ − < <
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2
4 ,3
mx x+ = − 1 2
2 .3
my y+ =
MN 2 ,3 3
m m −
MN 2 2 1x y+ =
2 22 3 513 3 5
m m m − + ≥ ⇒ ≥
3 5
5m ≤ −
综上，可知 或 .
21．解：（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2，1 和
3，1 和 4，2 和 3，2 和 4，3 和 4，共六个．
从袋中随机取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2，1 和 3 两个．
因此所求事件的概率为1
3．
（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为 m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号
为 n，其中一切可能的结果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，
2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，
(4，4)，共 16 个．
所有满足条件 n≥m＋2 的事件为(1，3)(1，4)(2，4)，共 3 个，
所以满足条件 n≥m＋2 的事件的概率为 P1＝ 3
16．
故满足条件 n＜m＋2 的事件的概率为 1－P1＝1－ 3
16＝13
16．
22. 解：（1）由题意可得：a2-b2=1， + =1，联立解得 a2=4，b2=3．
∴椭圆 P 的方程为 + =1．
（2）∵ABCD 为正方形，∴AC⊥BD，设直线 AC 的方程为：y=-x+m．
代入椭圆方程可得：7x2-8mx+4m2-12=0，
△=64m2-28（4m2-12）＞0，解得 ＜m ，
设 A（x1，y1），C（x2，y2），
则 x1+x2= ，x1•x2= ，y1+y2=2m-（x1+x2）=2m- = ．
∴线段 AC 的中点 M ．
由点 M 在直线 BD 上，∴7× -7× +1=0，解得 m=-1∈ ．
∴直线 AC 的方程为：x+y+1=0．
|AC|= = × = ．
3 53 5m− < ≤ − 3 5 35 m≤ <
∴该正方形 ABCD 的面积 S= = = ．