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- 2021-06-03 发布
2017～2018学年度第一学期期中考试
高二数学试题
（考试时间：120分钟 满分：160分）
一填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）．
1、命题“”的否定是 ．
2、不等式的解集为 ．
3、不等式的解集是或，则 ．
4、设变量满足约束条件，则的最小值是 ．
5、右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,
水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米；
6、与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为_______．
7、若正数满足，则的最小值为_______．
8、若关于，的不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于3，则的值为 ．
9、 已知焦点在y轴上的椭圆方程为，则a的范围是 _____．
10、不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是 ．
11、若双曲线 的焦点是过的直线交左支于A、B，若|AB|=5，则△AF2B的周长是 ．
12、已知椭圆+=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为 .
13、已知椭圆，是椭圆的左右焦点，是右准线，若椭圆上存在点，使是到直线的距离的倍，则该椭圆离心率的取值范围是
14、已知任意实数，不等式恒成立，则最大值为_________．
二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15、（本题满分14分）
已知命题P：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；
命题q：关于实数t的不等式
（1）若命题P为真，求实数t的取值范围；
（2）若命题P是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围。
16．（本题满分14分）
（1）设全集，集合，集合.求;
（2）设，求的最大值.
17．（本题满分14分）
x
y
O
P
A
F
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，右焦点为.为椭圆上一点，且.
（1）若，，求的值；（2）若，求椭圆的离心率；
18．（本小题满分16分）
经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数（万人）与时间（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足.
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式；
（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）
19．（本小题满分16分）
已知函数
（1）当时，写出函数的单调增区间；
（2）当时，求函数在区间上的最小值；
（3）设，函数在上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围（用表示）.
20.（本小题满分16分）
已知分别是椭圆的左，右顶点，点在椭圆 上，且直线与直线的斜率之积为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（II）点为椭圆上除长轴端点外的任一点，直线，与椭圆的右准线分别交于点，．
①在轴上是否存在一个定点,使得?若存在，求点的坐标；若不存在,说明理由；
②已知常数，求的取值范围.
（第20题）
2017～2018学年度第一学期期中考试
数学试卷
一填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）．
1．命题“”的否定是 ．
2．不等式的解集为 ．
3．不等式的解集是或，则 ．
4．设变量满足约束条件，则的最小值是 ．
5、右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,
水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 ▲ 米；
6、与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为_______．
7、若正数满足，则的最小值为_______．
8.若关于，的不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于3，则的值为 ．5
9. 已知焦点在y轴上的椭圆方程为，则a的范围是 _____．
10．不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是 ▲ ．
11．若双曲线 的焦点是过的直线交左支于A、B，若|AB|=5，则△AF2B的周长是 ．18
12.已知椭圆+=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为 .
(变式1)
【答案】
【解析】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M.
由=kAM，得=，
所以yM=b.
由=kFM，得=，
所以yM=.
从而b=，
整理得2e2+e-1=0，解得e=.
13、已知椭圆，是椭圆的左右焦点，是右准线，
若椭圆上存在点，使是到直线的距离的倍，则该椭圆离心率的取值范围是
14．已知任意实数，不等式恒成立，则最大值为_________． 4
二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15、（14分）已知命题P：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；
命题q：关于实数t的不等式
（1）若命题P为真，求实数t的取值范围；
（2）若命题P是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围。
解．（1）方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆
------------4分
解得：------------7分
（2）命题P是命题q的充分不必要条件
是不等式解集的真子集-------10分
因方程两根为故只需-----12分
解得：----------14分
16．（本题满分14分）
（1）设全集，集合，集合.求;
（2）设，求的最大值.
解：①∵，∴，
不等式的解为，∴-------2分
由解得或.-------4分
∴-------7分
②，，设，则，于是有
-------12分
当且仅当，即时取等号，此时．∴当时，函数取得最大值．-------14分
17．（本题满分14分）
x
y
O
P
A
F
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，右焦点为.为椭圆上一点，且.
（1）若，，求的值；（2）若，求椭圆的离心率；
解:(1)因为，，所以，即，
由得，，即,
又，∴.解得或(舍). -------7分
(2)当时,，
由得，，即，故，
所以，解得（负值已舍）．-------14分
18．（本小题满分16分）
经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数（万人）与时间（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足.
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式；
（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）
【解析】（Ⅰ）由题意得，
（Ⅱ）因为-------6分
①当时，
当且仅当，即时等号-------10分
②当时，，可证在上单调递减，所以当时，取最小值为 -------16分
19．已知函数
（1）当时，写出函数的单调增区间；
（2）当时，求函数在区间上的最小值；
（3）设，函数在上既有最大值又有最小值，请分别求出
的取值范围（用表示）.
解：（1）当时，
单调增区间和-------4分
（2）-------10分
（3）①当时，，-------13分
②当时，.-------16分
20.已知分别是椭圆的左，右顶点，点在椭圆 上，且直线与直线的斜率之积为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（II）点为椭圆上除长轴端点外的任一点，直线，与椭圆的右准线分别交于点，．
①在轴上是否存在一个定点,使得?若存在，求点的坐标；若不存在,说明理由；
②已知常数，求的取值范围.
（第20题）
试题解析：（Ⅰ）由题意得，，
， ∴，
由点在椭圆C上，则有：
， ……………………2分
由以上两式可解得．
∴椭圆方程为． ……… 4分
②∵， ，
∴．
∵，，∴．
∴ ． …………………13分
设函数，定义域为，
当时，即时，在上单调递减，的取值范围为，
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，的取值范围为 ．
综上，当时，的取值范围为，
当时，的取值范围为． ………………16分