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- 2021-06-03 发布
专题限时集训(四) 等差数列、等比数列
[建议A、B组各用时：45分钟]
[A组 高考达标]
一、选择题
1．(2016·青岛模拟)在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝( )
A．1 B．±1
C．2 D．±2
A [a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝8，
从而q2＝2，所以a1＝＝1，故选A.]
2．(2016·福州模拟)已知数列{an}是等差数列，且a7－2a4＝6，a3＝2，则公差d＝( )
A．2 B．4
C．8 D．16
B [法一：由题意得a3＝2，a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝6，解得d＝4，故选B.
法二：在公差为d的等差数列{an}中，am＝an＋(m－n)d(m，n∈N*)．
由题意得解得]
3．已知等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3等于( ) 【导学号：67722021】
A．－ B．1
C．－或1 D．－1或
A [若q＝1，则3a1＋6a1＝2×9a1，
得a1＝0，矛盾，故q≠1.
所以＋
＝2，
解得q3＝－或1(舍)，故选A.]
4．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*.若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 016＝( )
A．92 015 B．272 015
C．92 016 D．272 016
D [由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列．数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n.又cn＝ban＝33n，∴c2 016＝33×2 016＝272 016，故选D.]
5．设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若＝(n∈N*)，则＝( )
A. B.
C. D.
D [根据等差数列的前n项和公式及＝(n∈N*)，可设Sn＝kn2，Tn＝kn(2n＋1)，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k(2n－1)，bn＝Tn－Tn－1＝k(4n－1)，所以＝，故选D.]
二、填空题
6．(2016·长沙模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2a3，S5＝15，则a2 016＝__________.
2 016 [在等差数列{an}中，由S3＝2a3知，3a2＝2a3，而S5＝15，则a3＝3，于是a2＝2，从而其公差为1，首项为1，因此an＝n，故a2 016＝2 016.]
7．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是________．
20 [由等差数列的性质可得a3＝35，a4＝33，故d＝－2，an＝35＋(n－3)×(－2)＝41－2n，易知数列前20项大于0，从第21项起为负项，故使得Sn达到最大值的n是20.]
8. 设等比数列{an}中，Sn是前n项和，若27a3－a6＝0，则＝__________.
28 [由题意可知，公比q3＝＝27，∴＝＝1＋q3＝1＋27＝28.]
三、解答题
9．设数列{an}的前n项和为Sn，满足(1－q)Sn＋qan＝1，且q(q－1)≠0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．
[解] (1)当n＝1时，由(1－q)S1＋qa1＝1，得a1＝1.1分
当n≥2时，由(1－q)Sn＋qan＝1，得(1－q)Sn－1＋qan－1＝1，两式相减得an＝qan－1.5分
又q(q－1)≠0，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列，故an＝qn－1.6分
(2)证明：由(1)可知Sn＝，7分
又S3＋S6＝2S9，得＋＝，9分
化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8.11分
故a2，a8，a5成等差数列.12分
10．(2016·广州五校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝4，S5＝－5.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T5的值和Tn的表达式．
[解] (1)由题知解得故an ＝2n－7(n∈N*).5分
(2)由an＝2n－7<0，得n<，即n≤3，
所以当n≤3时，an＝2n－7<0，当n≥4时，an＝2n－7>0.6分
易知Sn＝n2－6n，S3＝－9，S5＝－5，
所以T5＝－(a1＋a2＋a3)＋a4＋a5＝－S3＋(S5－S3)＝S5－2S3＝13.8分
当n≤3时，Tn＝－Sn＝6n－n2；
当n≥4时，Tn＝－S3＋(Sn－S3)＝Sn－2S3＝n2－6n＋18.
故Tn＝12分
[B组 名校冲刺]
一、选择题
1．(2016·河北五个一联盟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的斜率是( )
【导学号：67722022】
A．4 B．3
C．2 D．1
A [设等差数列{an}的公差为d，因为S2＝2a1＋d＝10，S5＝(a1＋a5)＝5(a1＋2d)＝55，所以d＝4，所以kPQ＝＝＝d＝4，故选A.]
2．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－5 B．－
C．5 D.
A [根据已知得3an＝an＋1，∴数列{an}是等比数列且其公比为3，
∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×33＝9×33＝35，
∴log(a5＋a7＋a9)＝log35＝－5.]
3．(2016·东北三省四市联考)如图41所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a52＝( )
图41
A．2 B．8
C．7 D．4
C [第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41＋a42＋a43＝3a42，同理第二行也有a51＋a52＋a53＝3a52，第三行也有a61＋a62＋a63＝3a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a42＋a52＋a62＝3a52，所以a41＋a42＋a43＋a51＋a52
＋a53＋a61＋a62＋a63＝3a42＋3a52＋3a62＝3×3a52＝63，所以a52＝7，故选C.]
4．(2016·郑州二模)设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是( )
A. B.
C. D.
D [由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，又因为1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，所以数列{nan}为首项为1，公差为5的等差数列，则20a20＝1＋19×5，解得a20＝，故选D.]
二、填空题
5．(2016·湖北七校2月联考)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sk－2＝－4(k>2)，Sk＝0，Sk＋2＝8，则k＝__________.
6 [由题意，得Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝8，Sk－Sk－2＝ak－1＋ak＝4(k>2)，两式相减，得4d＝4，即d＝1.由Sk＝ka1＋＝0，得a1＝－，将a1＝－代入ak－1＋ak＝4，得－(k－1)＋(2k－3)＝k－2＝4，解得k＝6.]
6．(2016·河北第二次大联考)数列{logkan}是首项为4，公差为2的等差数列，其中k>0，且k≠1.设cn＝anlg an，若{cn}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为__________. 【导学号：67722023】
∪(1，＋∞) [由题意得logkan＝2n＋2，则an＝k2n＋2，∴＝＝k2，即数列{an}是以k4为首项，k2为公比的等比数列，cn＝anlg an＝(2n＋2)·
k2n＋2lg k，要使cn1时，lg k>0，n＋1<(n＋2)k2对一切n∈N*恒成立；当0(n＋2)k2对一切n∈N*恒成立，只需k2