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- 2021-06-03 发布
1.5.3定积分的概念
一、选择题
1、设a＝ʃxdx，b＝ʃx2dx，c＝ʃx3dx，则a，b，c的大小关系是( )
A．c>a>b B．a>b>c
C．a＝b>c D．a>c>b
2、liln 可化为( )
A．ʃln2xdx B．2ʃln xdx
C．2ʃln(1＋x)dx D．ʃln2(1＋x)dx
3、定积分ʃx3dx的值为( )
A. B. C. D．0
4、设f(x)＝，则ʃf(x)dx可化为( )
A．ʃx2dx B．ʃ2xdx
C．ʃx2dx＋ʃ2xdx D．ʃ2xdx＋ʃx2dx
5、定积分ʃf(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
6、若函数f(x)的图象在[a，b]上是一条连续曲线，用n－1个等分点xi(i＝1,2，…，n－1)把[a，b]分成n个小区间，记x0＝a，xn＝b，每个小区间长度为Δx，任取ξi∈[xi－1，xi]，则ʃf(x)dx等于当n→＋∞时( )
A.(xi)所趋近的某个值
B.(ξi)(b－a)所趋近的某个值
C.(ξi)Δx所趋近的某个值
D.(xi)所趋近的某个值
7、定积分ʃxdx的值是( )
A．1 B. C. D．0
二、填空题
8、ʃdx＝____________.
三、解答题
9、如图，阴影部分的面积分别以A1，A2，A3表示，则定积分ʃf(x)dx＝________.
10、设变速直线运动物体的速度为v(t)，则在t1到t2这一时间段内，该物体经过的位移s＝________.
三、解答题
11、利用定积分的几何意义，
求ʃf(x)dx＋sin x·cos xdx，其中f(x)＝.
12、弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功．
13、利用定积分的几何意义求下列定积分．
(1)ʃdx；(2)ʃcos xdx.
以下是答案
一、选择题
1、B
2、B [liln
＝li n2
＝li ln＝2ʃln xdx.]
3、D [画草图，f(x)＝x3的图象关于原点对称，在区间[－1,1]上，x轴上方f(x)所围面积
与x轴下方f(x)所围面积相等，故由几何意义知ʃx3dx＝0.]
4、D [ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx
＝ʃ2xdx＋ʃx2dx.故选D.]
5、A
6、C [f(ξi)Δx为第i个小曲边梯形的面积，和式f(ξ1)Δx＋f(ξ2)Δx＋…＋f(ξn)Δx表示x＝a，
x＝b，y＝0及函数f(x)的图象所围成图形的面积的近似值，当分割无限变细，即n趋向于＋∞时，(ξi)Δx所趋近的值就是曲边梯形的面积，即ʃf(x)dx，故选C.]
7、B [即计算由直线y＝x，x＝1及x轴所围成的三角形的面积．]
二、填空题
8、 ＋
解析 由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．
ʃdx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和
S弓形＝××22－×2×2sin＝－，
S矩形＝|AB|·|BC|＝2，
∴ʃdx＝2＋－＝＋.
9、A1＋A3－A2
解析 利用定积分的几何意义，在区间[a，b]上，用x轴上方f(x)所围面积减去x轴下方f(x)所围面积．
10、v(t)dt
三、解答题
11、解 ʃf(x)dx＋sin xcos xdx
＝ʃ(3x－1)dx＋ʃ(2x－1)dx＋sin xcos xdx，
∵y＝sin xcos x为奇函数，
∴sin xcos xdx＝0.
利用定积分的几何意义，如图，
∴ʃ(3x－1)dx＝－×2＝－8.
ʃ(2x－1)dx＝×1＝2.
∴ʃf(x)dx＋sin xcos xdx
＝2－8＋0＝－6.
12、解 将物体用常力F沿着力的方向移动距离x，则所做的功为W＝Fx，本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数F(x)＝kx.将[0，b]n等分，记Δx＝，分点依次
为：x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝b.
当n很大时，在分段[xi，xi＋1]所用的力约为kxi，所做的功ΔWi≈kxi·Δx＝kxi.
则从0到b所做的总功W近似地等于
Wi＝xi·Δx＝··
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝
＝.
于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
W＝liWi＝li ＝kb2.
13、解 (1)由y＝得x2＋y2＝1(y≥0)，其图象是以原点为圆心，半径为1的圆的
部分．
∴ʃdx＝π·12＝π.
(2)由函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象的对称性(如图)知，ʃcos xdx＝0.