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- 2021-06-03 发布
2020年吉林省松原市实验中学高考八模试卷
数学（理科）
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{x|x2＞2x}，B＝{x|1≤x≤3}，则A∪B＝（ ）
A．{x|0≤x＜1} B．{x|x＜0或x≥1} C．{x|2＜x≤3} D．{x|x≤1或x＞3}
2．已知复数（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（ ）
A．3﹣3i B．3+3i C．3﹣i D．3+i
3．如图，三棱柱的棱长均为6，且侧棱垂直于底面，其三视图中的主视图是边长为6的正方形，则该三棱柱的左视图面积为（ ）
A． B．18 C． D．
4．设等比数列{an}的前n项和是Sn，a2＝﹣2，a5＝﹣16，则S6＝（ ）
A．﹣63 B．63 C．﹣31 D．31
5．若实数x，y满足约束条件，则2x+3y的取值范围是（ ）
A．[﹣1，15] B．[1，15] C．[﹣1，16] D．[1，16]
6．某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（ ）
A．150种 B．120种 C．240种 D．540种
7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．31 B．39 C．47 D．60
8．如图，P，Q是函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的图象与x轴的两个相邻交点，M（1，2）是函数f（x）的图象的一个最高点，若△MPQ是等腰直角三角形，则函数f（x）的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知实数a，b，c分别满足2a＝﹣a，log0.5b＝b，log2c＝，那么（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
10．已知椭圆左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上一点P满
足PF2⊥x轴，且PF1与圆相切，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝x+a有2个不同的实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|﹣1≤a＜l或a＞l} B．{a|a＝﹣1或0≤a＜l或a＞1}
C．{a|a＝﹣l或a≥0} D．{a|a≤﹣1或a≥0}
12．定义在R上函数f（x）满足，且当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|．则使得在[m，+∞）上恒成立的m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
二．填空题（共4小题）
13．已知向量 ＝（2，﹣l）， ＝（l，x），若||＝||，则x＝ ．
14．某种袋装大米的质量X（单位：kg）服从正态分布N（50，0.01），任意选一袋这种大米，质量在49.8～50.1kg的概率为 ．
15．已知，则的展开式中x4的系数为 ．
16．定义数列{an}，先给出a1＝1，接着复制该项，再添加1的后继数2，于是a2＝1，a3＝2，接下来再复制前面所有项，之后再添加2的后继数3，如此继（1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1…），设Sn是an的前n项和，则S2020＝ ．
三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsinA＝a（2+cosB）．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的小值．
18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等边三角形，D，E分别为AC，A1C1的中点，点F在棱
CC1上，且EF⊥BF．
（1）证明：平面BEF⊥平面BDF；
（2）若AB＝4，C1F＝2FC，求二面角D﹣BE﹣F的余弦值．
19．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉博的热门APP，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图
（1）根据上图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数；
（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从[8，10]和[10，12]组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会．现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求[10，12]小组中至少有1人发言的概率？
20．若抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O是坐标原点，M为抛物线上的一点，向量与x轴正方向的夹角为60°，且△OFM的面积为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若抛物线C的准线与x轴交于点A，点N在抛物线C上，求当取得最大值时，直线AN的方程．
21．已知函数f（x）＝xlnx+a和函数g（x）＝lnx﹣ax．
（1）若曲线f（x）在x＝1处的切线过点A（2，﹣2），求实数a的值．
（2）求函数h（x）＝g（x）+x2的单调区间．
（3）若不等式f（x）+g（x）＞0对于任意的x＞1恒成立，求实数a的最大值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设P是曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的取值范围．
选修4-5：不等式选讲
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣x﹣1，函数g（x）＝﹣|x﹣4|﹣x+2m﹣1．
（1）当f（x）＞0时，求实数x的取值范围．
（2）当g（x）与f（x）的图象有公共点时，求实数m的取值范围..
2020年吉林省松原市实验中学高考八模试卷
数学（理科）
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B； 2．B； 3．D； 4．A； 5．A； 6．A； 7．D； 8．B； 9．A； 10．A； 11．B； 12．D；
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．2； 14．0.8185； 15．﹣5； 16．3990；
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）因为bsinA＝a（2+cosB）．
由正弦定理得．
显然sinA＞0，所以．
所以2sin（B﹣）＝2，∵B∈（0，π）．
所以，∴．
（2）依题意，∴ac＝4．
所以时取等号．
又由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2+ac≥3ac＝12．∴．
当且仅当a＝c＝2时取等号．
所以△ABC的周长最小值为．
18．解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴AA1⊥平面ABC，从而有AA1⊥BD，
∵△ABC为等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
又AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面ACC1A1，从而有BD⊥EF，
又∵EF⊥BF，BD∩BF＝B，
∴EF⊥平面BDF，
又∵EF在平面BEF内，
∴平面BEF⊥平面BDF；
（2）由（1）可知，EF⊥平面BDF，从而有EF⊥DF，
设CF＝m，则有m2+4+4m2+4＝9m2，即4m2＝8，得，
以D为坐标原点，DB，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面BEF的一个法向量为，
则，可取，
∵DC⊥平面BDE，
∴平面BDE的一个法向量为，
∴，
∴二面角D﹣BE﹣F的余弦值为．
19．解：（1）设抽查人员利用“学习强国”的平均时长为 ，中位数为y，
+0.25×5+0.3×7+0.15×9+0.1×11+0.05×13＝6.8，
设抽查人员利用“学习强国”的中位数为y＝0.05+0.1+0.25+0.15×（y﹣6）＝0.5，解得y＝，
即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为．
（2）[8，10]组的人数为2000×0.15＝300人，设抽取的人数为a，
[10，12]组的人数为2000×0.1＝200人，设抽取的人数为b，
则，解得a＝30，b＝20，
所以在[8，10]和[10，12]两组中分别抽取30人和20人，
在抽取5人，两组分别抽取3人和2人，将[]8，10组中被抽取的工作人员标记为a，b，c，将[10，12]中的标记为A，B．
则抽取的情况如下：{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{A，B}共10种情况，
其中在[10，12]中至少抽取1人有7种，则P＝．
20．解：（Ⅰ）可设M（m，n），m＞0，n＞0，F（，0），
向量与x轴正方向的夹角为60°，且△OFM的面积为，
可得••n＝，即有n＝，m＝tan30°+＝+，
由M在抛物线上，可得（）2＝2p（+），解得p＝2，
则抛物线的方程为y2＝4x；
（Ⅱ）过N作NP与准线垂足，垂足为P，则＝＝＝，
当取得最大值，
则∠NAF必须取得最大值，此时AN与抛物线相切，
设切线方程为y＝k（x+1），联立，消去x可得ky2﹣4y+4k＝0，
△＝16﹣16k2＝0，即k2＝1，则k±1，
则直线方程y＝x+1或y＝﹣x﹣1，
21．解：（1）因为f′（x）＝lnx+1，∴f′（1）＝1，结合f（1）＝a，
所以f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣a＝x﹣1，结合切点过A（2，﹣2），
∴﹣2﹣a＝2﹣1，∴a＝﹣3．
（2）h（x）＝lnx﹣ax+x2的定义域为（0，+∞）．
，则x2﹣ax+1＝0，令△＝a2﹣8．
①当△≤0，即时，h′（x）≥0，所以h（x）的增区间为（0，+∞）．
②当△＞0，即时，
2x2﹣ax+1＝0有两个不等的实数根即：．
当时，x1，x2＜0，∴h′（x）＞0，所以h（x）的增区间为（0，+∞）；
当时，x1＞0，x2＞0，令h′（x）＞0，则0＜x＜x1或x＞x2；令h′（x）＜0，则x1＜x＜x2．
所以h（x）的增区间为（0，x1），（x2，+∞）；减区间为（x1，x2）．
（3）令q（x）＝f（x）+g（x）＝（x+1）lnx﹣ax+a，显然q（1）＝0．
，（x＞1）．
①当a≤2时，q′（x）＞0，所以q（x）在（1，+∞）上递增，∴q（x）＞q（1）＝0，符合题意；
②当a＞2时，，所以q′（x）在（1，+∞）上递增，
且q′（1）＝2﹣a＜0，令x＝ea，显然，
故存在唯一实数x0＞1，使得q′（x0）＝0，
当x∈（1，x0）时，q′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，q′（x）＞0，
所以q（x）在（1，x0）递减，所以q（x0）＜q（1）＝0，与q（x）＞0矛盾．
综上，a的最大值为2．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22.解：（1）∵曲线C的参数方程为（t为参数），
∴曲线C的普通方程为y2＝4x（y≠2）；
∵直线l的极坐标方程为，
∴ρcosθ﹣ρsinθ+2＝0，∴l的直角坐标方程为x﹣y+2＝0．
（2）设，则P点坐标（x0，y0）满足（m为参数）．
由点到直线的距离公式，可得P到直线l的距离
，
∴点P到直线l的距离的取值范围为．
选修4-5：不等式选讲
23.解：（1）f（x）＞0即|x﹣2|＞x+1，则，或，
解之得无解，或x＜，
故实数x的取值范围为x＜，
（2）因为g（x）与f（x）的图象有公共点，则﹣|x﹣4|﹣x+2m﹣1＝|x﹣2|﹣x﹣1有解，
即2m＝|x﹣2|+|x﹣4|有解，
因为2m＝|x﹣2|+|x﹣4|≥|x﹣2﹣（x﹣4）|＝2，
即m≥1．