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- 2021-06-03 发布
北重三中2017-2018学年度第一学期
高三年级12月份月考文科数学试题
（第四次调研）
考试时间：2017年12月15日 满分：150分 考试时长：120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝()
A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
2. 复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.下列命题中，是真命题的（）
A. 命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是假命题；
B. 已知a，b都是实数，那么“>”是“lna>lnb”的充分不必要条件；
C. 命题“∀x∈R，sin x≥1”的否定是“∀x∈R，sin x≤1 ”；
D. “”是“”的充分不必要条件；
4．已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为（）
A． B． C． D．
5．.函数的部分图像大致为（）
6． 在△ABC中，a＝4，b＝，5sin(B＋C)-4＝0，则角B的大小为（）
A. B. C. D.
7.设首项为1，公比为的等比数列｛an｝的前n项和为Sn，则（）
A. B. C. D.
8．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF| =（）
A.3 B. C. D.2
9.在四边形则该四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是( )
A.[1,2] B. C. D.(0,2]
11.设分别是椭圆的左右焦点，P为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）
A. B. C. D.
12.若函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知向量________；
14．已知△ABC的外接圆半径为中，已知∠B＝45°， D是BC边上的一点．若AD＝1，·＝3，则CD的长为________；
15.数列的前项和为，若则________；
16．若存在则不等式成立，则实数的最小值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知函数．
（I）求的最小正周期；
（II）求在区间上的最小值．
18.已知数列的前n项和为，，数列满足
(I)求及；
(II)记表示的个位数字，如求数列的前20项和．
19.已知各项均不相等的等差数列的前四项和，且成等比数列．
(I)求数列的通项公式；
(II)求数列的前n项和．
20.设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点
，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.[来源:学&科&网]
21．已知函数，其中．
（Ⅰ）给出的一个取值，使得曲线存在斜率为的切线，并说明理由；
（Ⅱ）若存在极小值和极大值，证明：的极小值大于极大值．
选考题(（本小题满分10分）请考生在22、23题中任选一道题做答，如果多做，则按所做的第一题计分
22．在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2，）．
（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．
[来源:Z*xx*k.Com]
23． 设f(x)＝|x|＋|x＋10|.
(I)求f(x)≤x＋15的解集M；
(II)当a，b∈M时，求证：5|a＋b|≤|ab＋25|.
北重三中高三年级第一学期第四次调研文科数学试卷答案
一、选择题
ACDDCADBCCAC
二、 填空
13、 -3 14、 15、768 16、
三、 解答题
17.（I）；（II）.
18.同理17
19.（1）（2）
20.（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.
试题解析：（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.
（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，
设，由方程组消去，
整理得，解得或，
由题意得，从而，
由（1）知，设，有，，
即，化简得，即，[来源:Z§xx§k.Com]
解得或，
所以直线的斜率为或.
21．解：（Ⅰ）函数的定义域是，且，且．[ 2分]
当时，曲线存在斜率为的切线．证明如下：[ 3分]
曲线存在斜率为的切线方程存在上的解．
令，整理得，
解得，或．
所以当时，曲线存在斜率为的切线．[ 5分]
注：本题答案不唯一，只要均符合要求．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．
①当时，恒成立，[来源:Zxxk.Com]
函数在区间和上单调递增，无极值，不合题意．[ 6分]
②当时，令，整理得．
由，
所以，上述方程必有两个不相等的实数解，，不妨设．
由得．[ 8分]
，的变化情况如下表：
[来源:学+科+网]
[来源:学+科+网]
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
所以，存在极大值，极小值．[10分]
．
[11分]
因为，且，
所以，，
所以 ．
所以的极小值大于极大值．
22．在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2，）．
（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．
【解答】解：（1）将O，A，B三点化成普通坐标为O（0，0），A（0，2），B（2，2）．
∴圆C1的圆心为（1，1），半径为，
∴圆C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，
将代入普通方程得ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，
∴ρ=2sin（）．
（2）∵圆C2的参数方程为（θ是参数），
∴圆C2的普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2．∴圆C2的圆心为（﹣1，﹣1），半径为|a|，
∵圆C1与圆C2外切，∴2=+|a|，解得a=±．
23.【解析】（Ⅰ）由得：
或或…………………………………（3分）
解得，
所以的解集为.…………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）当，即，时，
要证，即证.…………………………………………………（6分）
∵
…………………………………………^………（9分）
∴，即.…………………………………………^………（10分）