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- 2021-06-03 发布
【高频考点解读】
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义
2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质
【热点题型】
热点题型一 函数单调性的判定与证明
例1、【2017北京，文5】已知函数，则
（A）是偶函数，且在R上是增函数
（B）是奇函数，且在R上是增函数
（C）是偶函数，且在R上是减函数
（D）是奇函数，且在R上是增函数
【答案】B
【提分秘籍】判断(或证明)函数单调性的主要方法
(1)函数单调性的定义；
(2)观察函数的图象；
(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则；
(4)利用导数等。
其中(2)(3)一般用于选择、填空题。
【举一反三】
试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性。
【解析】设－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
热点题型二 求函数的单调区间
例2、【2017课标II，文8】函数 的单调递增区间是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数有意义，则： ，解得： 或 ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 .故选D.
【提分秘籍】 求函数单调区间的常用方法
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间。
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义。
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间。
(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间。
(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”。
【举一反三】
求出下列函数的单调区间。
(1)f(x)＝|x2－4x＋3|；
(2)f(x)＝log2(x2－1)；
(3)f(x)＝；
【解析】(1)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y＝|x2－4x＋3|的图象，如图所示。
由图可知，f(x)在(－∞，1)和(2,3]上为减函数，在[1,2]和(3，＋∞)上为增函数，故f(x)的增区间为[1,2]，
热点题型三 函数单调性的应用
例3． (1)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞c＞b D．b＞a＞c
(2)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增， 且f＝0，则满足f(logx)＞0的x
的集合为________。
【答案】（1）D （2）{x|0＜x＜或1＜x＜3}
【解析】(1)由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象本身关于直线x＝1对称，所以a＝f＝f。当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b＞a＞c。故选D。
(2)由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f＝0。由f(logx)＞0，得logx＞或－＜logx＜0，解得0＜x＜或1＜x＜3.所以满足条件的x的取值集合为{x|0＜x＜或1＜x＜3}。
【提分秘籍】
1．含“f”不等式的解法
首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内。
2．比较函数值大小的思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解。
3．求参数的值或取值范围的思路
根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解。
【举一反三】
函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．a＝－3 B．a＜3
C．a≤－3 D．a≥－3
【答案】C
热点题型四 函数的单调性与最值
例4、已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0。
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值。
【解析】(1)令x1＝x2＞0，
【提分秘籍】
1．运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法。
2．函数的最值与单调性的关系
若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)。
【举一反三】
已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)。
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围。
【解析】(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，联想到g(x)＝x＋的单调性，猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性．任取1≤x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝，
∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0。
又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，
【高考风向标】
【2017北京，文5】已知函数，则
（A）是偶函数，且在R上是增函数
（B）是奇函数，且在R上是增函数
（C）是偶函数，且在R上是减函数
（D）是奇函数，且在R上是增函数
【答案】B
【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数， 是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B.
【2017课标II，文8】函数 的单调递增区间是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数有意义，则： ，解得： 或 ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 .故选D.
1.【2016高考北京文数】已知，，若点在线段上，则的最大值为（ ）
A.−1 B.3 C.7 D.8
【答案】C
【解析】由题意得，AB：，
∴，当时等号成立，即的最大值为7，故选C.
2.【2016高考北京文数】下列函数中，在区间 上为减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由在上单调递减可知D符合题意，故选D.
3.【2016高考上海文科】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
、①和②均为真命题 、①和②均为假命题
、①为真命题，②为假命题 、①为假命题，②为真命题
【答案】D
数也可能为增函数，因此①不正确.选D.
4.【2016高考北京文数】函数的最大值为_________.
【答案】2
【解析】，即最大值为2.
5.【2016高考天津文数】已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________.
【答案】
6.【2016高考上海文科】
已知R，函数=.
（1）当 时，解不等式>1；
（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；
（3）设>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】（1）．（2）或．（3）．
【解析】
（1）由，得，解得．
即，对任意成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，
所以时，有最小值，由，得．
故的取值范围为．
1.【2015高考四川，文15】已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.
其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).
【答案】①④
2.【2015高考陕西，文10】设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】；；
因为，由是个递增函数，
所以，故答案选C
3.【2015高考浙江，文12】已知函数，则 ，的最小值是 ．
【答案】
【解析】，所以.当时，；当时，，当时取到等号.因为，所以函数的最小值为.
4.【2015高考上海，文20】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知函数，其中为实数.
（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.
【答案】（1）是非奇非偶函数；（2）函数在上单调递增.
1．（2014·北京卷）下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
【答案】B 【解析】由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D.
2．（2014·湖南卷）下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x
【答案】A 【解析】由偶函数的定义，可以排除C，D，又根据单调性，可得B不对．
3．（2014·江苏卷）已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．
(1)证明：f(x)是R上的偶函数．
(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x ＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．
(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0).
令函数h(x) ＝ x －(e－1)ln x－1，则 h′(x)＝1－. 令 h′(x)＝0, 得x＝e－1.
当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调递减函数；
当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．
所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．
注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)h(e)＝0，即a－1>(e－1)ln a，故ea－1>ae－1.
综上所述，当a∈时，ea－1ae－1.
4．（2014·四川卷）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；
②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∈/B；
④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
【答案】①③④
【解析】若f(x)∈A，则函数f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝
5．（2014·四川卷）已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f (x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e－2＜a＜1.
【解析】(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，
同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；
当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．
所以＜a＜.
此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．
因此x1∈(0，ln(2a))，x2∈(ln(2a)，1)，必有
g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.
由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有
g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.
解得e－2＜a＜1.
所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e－2＜a＜1.
【高考冲刺】
1．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2|x|
C．f(x)＝log2 D．f(x)＝sinx
【答案】C
2．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先减后增 D．先增后减
【答案】C
【解析】对称轴为x＝3，函数在(2,3]上为减函数，在(3,4)上为增函数．
3．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是( )
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
【答案】A
【解析】由已知易得即x>3，又0<0.5<1，
∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．
4．若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．a<－3 B．a≤－3
C．a>－3 D．a≥－3
【答案】B
【解析】对称轴x＝1－a≥4，∴a≤－3.
5．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋)有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,1)∪(1，)
C．(1，) D．[，＋∞)
【解析】当a>1且x2－ax＋有最小值时，f(x)才有最小值loga，∴⇒1x－成立，所以a>min，而函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)>f(0)＝－1，所以a>－1，故选D.
7．若函数y＝loga(x2＋2x－3)，当x＝2时，y>0，则此函数的单调递减区间是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
【答案】A
8．已知函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位后关于直线x＝a＋1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
【答案】D
【解析】由函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位后关于直线x＝a＋1对称，知f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∵1<2<f>f(e)．
∴b>a>c，故选D.
9．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
【答案】A
【解析】满足<0其实就是f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选A.
10．定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2(x1≠x2)都有<0，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)中心对称，若s，t满足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．则当1≤s≤4时，的取值范围是( )
A．[－3，－) B．[－3，－]
C．[－5，－) D．[－5，－]
【答案】D
【解析】∵函数f(x－1)的图象关于点(1,0)中心对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)中心对称，∴f(x)为奇函数，f(x)＝－f(－x)，∴f(s2－2s)≤－f(2t－t2)⇒f(s2－2s)≤f(t2－2t)，又由题意知f(x)为R上的减函数，∴s2－2s≥t2－2t，∴(s－t)(s＋t－2)≥0，∴s≥t且s＋t≥2，或s≤t且s＋t≤2.
不等式组的解只有此时＝－.
＝＝1－，不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知∈[－，1]，从而＝1－∈[－5，－]，∴∈[－5，－]．选D.
11．若函数y＝－|x|在[a，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】a≥0
【解析】y＝－|x|在[0，＋∞)上单调递减，∴a≥0.
12．函数f(x)＝的最大值为________．
【答案】
【解析】当x＝0时，y＝0.
当x≠0时，f(x)＝，
∵＋≥2，当且仅当＝，即x＝1时成立，故02时，h(x)＝－x＋3是减函数．
∴h(x)＝min{f(x)，g(x)}在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.
14．若函数f(x)＝2x＋sinx对任意的m∈[－2,2]，有f(mx－3)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________．
【答案】(－3,1)
【解析】易知f(x)是R上的奇函数，由f′(x)＝2＋cosx>0，知f(x)为增函数．
∵f(mx－3)＋f(x)<0可变形为f(mx－3)0恒成立，易知满足题意；当a>0时，令f′(x)＝>0，解得x>，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知≤2，解得01.
(1)求证：f(x)>0；
(2)求证：f(x)为R上的减函数；
(3)当f(4)＝时，对a∈[－1,1]时恒有f(x2－2ax＋2)≤，求实数x的取值范围．