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- 2021-06-03 发布
舒城中学2018—2019学年度第一学期期中考试
高二理数
（总分：150分 时间：120分钟）
一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分。
1．直线的倾斜角等于 （ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述：
①点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b，c)；
②点M关于yoz平面对称的点的坐标是M2(a，－b，－c)；
③点M关于y轴对称的点的坐标是M3(-a，b，－c)；
④点M关于原点对称的点的坐标是M4(－a，－b，－c)．
其中正确的叙述的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
3．设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，以下命题正确的是 （ ）
A.若 B.若
C.若 D.若
4．不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是 ( )
A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－4,2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
5．已知数列为等差数列，其前项和为，且，给出以下结论：
①；②；③；④．其中一定正确的结论是 （ ）
A．①② B．①③④ C．①③ D．①②④
6．已知函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为且的图象关于点对称，则下列判断正确的是 （ ）
A．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，函数的最小值为
D．函数在上单调递增
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A．
B．
C.
D．
8． 已知△ABC的面积为S,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则S=( )
A.2 B.4 C. D.
9. 已知向量与的夹角为，，且，则 （ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为其左右顶点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且，则双曲线的离心率为 ( )
A． B. C. D.
11．已知实数满足则的最大值为 ( )
A． B． C. D．
12．已知椭圆与直线，过椭圆上一点作的平行线，分别交于两点．若为定值，则 （ ）
A． B．4 C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13．设向量,满足，，则=
14. 抛物线的焦点舒中高二期中理数 第1页 (共4页)
为，准线与轴交于点，过抛物线上一点 (第一象限内)作的垂线,垂足为.若四边形的周长为16，则点的坐标为__________ ．
15. 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字出现在第行；数字出现在第行；数字（从左至右）出现在第行；数字出现在第
行，依此类推，則第行从左至右的第个数字应是 ．
16. 如图，正方体的棱长为1，中心为，则四面体的体积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分） △ABC中，已知C(2，5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上高线所在的直线方程是y＝2x－1，求B点的坐标．
18. （本小题满分12分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．
（1）设圆C与直线x﹣y+1=0交于E，F两点，求|EF|的值；
（2）已知Q（2，1），点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．
19. （本小题满分12分） 数列满足，（）。
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的取值范围
20. （本小题满分12分）
如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；
（2）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？（精确到0.1m）
21. （本小题满分12分） 如图，在三棱台中，已知平面平面，，，，。
（1）求证：⊥平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值。
22. （本小题满分12分） 设， 是椭圆上的两点，椭圆的离心率为，短轴长为2，已知向量， ，且， 为坐标原点.
（1）若直线过椭圆的焦点，（为半焦距），求直线的斜率的值；
（2）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理舒中高二期中理数 第3页 (共4页)
由.
期中参考答案
1—12: DBDC BAAA BBAC
13—16: 1; (4，4); 194;
17. 解：依条件，由解得A(1，1)．
C(2，5)关于y＝x的对称点C'(5，2)在AB边所在的直线上．
AB边所在的直线方程为y－1＝(x－1)，整理得x－4y＋3＝0．
BC边所在的直线的方程是y＝―(x－2)＋5，整理得x＋2y－12＝0．
18. （1）由圆C与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0），可得圆心C在AB的中垂线上，
即C在直线x=﹣2上，与x﹣2y+4=0联立，可得C（﹣2，1），
半径r==，则圆C的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=10，
圆心到直线x﹣y+1=0的距离d==，则|EF|=2=2=4；
（2）设M（x，y），M为PQ的中点，且Q（2，1），可得P（2x﹣2，2y﹣1），
由P在圆C上运动，将其坐标代入圆C的方程可得，（2x﹣2+2）2+（2y﹣1﹣1）2=10，
即为x2+（y﹣1）2=．则线段PQ中点M的轨迹方程为x2+（y﹣1）2=．
19. （1）由可得：所以数列是等差数列，首项，公差∴ ∴
（2）∵
∴
∴ 解得()
20. 如图所示
（1）依题意，设该抛物线的方程为x2=-2py（p＞0）
因为点C（5，-5）在抛物线上，所以该抛物线的方程为x2=-5y
（2）设车辆高h，则|DB|=h+0.5故D（3.5，h-6.5）代入方程x2=-5y，解得h=4.05
答：车辆通过隧道的限制高度为4.0米．
21. .解：（1）延长AD、BE、CF交于点O,如右图1：
∵平面⊥平面ABC，平面，，
∴平面，又平面，
∴；已知，，
∵∥∴，分别为中点，
∴，⊥。∵平面，∴⊥平面；
（2） 如图2，过作OA的垂线，垂足为G，连结GF，
∵⊥，⊥，
∴⊥平面，即为二面角的平面角
∵，∴△中，；
∵平面，
∴⊥，即△中，，，∴，
又⊥，∴。∵⊥，∴，∴二面角的余弦值为。
22. （1）由题可得： ， ，所以，椭圆的方程为
设的方程为： ，代入得：
∴， ，
∵，∴，即：
即，解得：
（2）①直线斜率不存在时，即，
∵ ∴，即
又∵点在椭圆上 ∴，即∴，
∴，故的面积为定值1
②当直线斜率存在时，设的方程为，
联立得：
∴， ，
∵，∴，即：
即：，化简得：
∴
=，所以三角形的面积为定值1.