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- 2021-06-03 发布
最新 2013 届天津高三数学试题精选分类汇编 5：数列
一、选择题
1. ．（天 津 市 十 二 区 县 重 点 中 学 2013 届 高 三 毕 业 班 联 考 （ 一 ） 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 已 知 函 数
数列 满足 ,且 是单调递增数
列 , 则 实 数 的 取 值 范 围 是
（
）
A． B． C． D．
2. ．（天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））已知等差数列 中,a7+a9=16,S11=
, 则 a12 的 值 是
（
）
A．15 B．30 C．31 D．64
3. ．（ 天 津 南 开 中 学 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 数 学 理 试 卷 ） 数 列 的 前 n 项 和 为
, 则 数 列 的 前 50 项 的 和 为
（
）
A．49 B．50 C．99 D．100
4. ．（天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学）已知正项等比数列{a }满足：
，若存在两项 使得 ，则 的最小值为 （ ）
A． B． C． D．不存在
5. ．（天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 理 科 数 学 ） 等 差 数 列 {a } 中 ， 如 果
， ，数列{a }前 9 项的和为 （ ）
A．297 B．144 C．99 D．66
6.．（天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题）若∆ABC 的三个内角成等差数列,三边
成 等 比 数 列 , 则 ∆ABC 是
（
5
(4 ) 4 ( 6),( ) 2
( 6).x
a x xf x
a x−
− + ≤=
>
( )0, 1a a> ≠ { }na *( )( )na f n n N= ∈ { }na
a
[ )7,8 ( )1,8 ( )4,8 ( )4,7
{ }na
2
99
}{ na
)()1(,1 *2 NnabnnS n
n
nn ∈−=++= }{ nb
n
7 6 5= 2a a a+ ,n ma a 14m na a a=
nm
41 +
2
3
3
5 6
25
n
1 4 7 =39a a a+ + 3 6 9 =27a a a+ + n
）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
7. ．（天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 月 考 理 科 数 学 ） 已 知 正 项 等 比 数 列 满 足 ：
，若存在两项 使得 ，则 的最小值为 （ ）
A． B． C． D．不存在
8. ．（天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）设 是等差数列{an}的前 n 项和，
，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
9. ．（天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷）已知等比数列{an}的首项为 1，若
成等差数列，则数列 的前 5 项和为 （ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
10. ．（天 津 市 蓟 县 二 中 2013 届 高 三 第 六 次 月 考 数 学 （ 理 ） 试 题 ）正 项 等 比 数 列 中 ， 若
，则 等于______.
11.．（天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）某公园设计节日鲜花摆放方案,
其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛,顶层一个,以下各层均堆成正六边形,且逐层每边增加一个
花盆(如图).
设第 层共有花盆的个数为 ,则 的表达式为_____________________.
12.．（天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学）数列{a }中，若 a =1，
（n≥1），则该数列的通项 a =________。
13.．（天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题）等差数列{an}中, ,在
{ }na
7 6 52a a a= + ,m na a 14m na a a= 1 4
m n
+
3
2
5
3
25
6
nS
5 2 83( )S a a= + 5
3
a
a
1
6
1
3
3
5
5
6
1 2 34 ,2 ,a a a
na
1
16
31
16
33
33
16
n 1 1 2 3n na a+ = +
n
1 71, 4a a= =
n )(nf )(nf
等比数列{bn}中, 则满足 的最小正整数 n 是____.
14.．（天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）在数列 中， ，则数列
中的最大项是第 项。
15.．（天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）设数列 满足 ，(n∈N﹡)，
且 ，则数列 的通项公式为 .
16.．（天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）若 ，
则 .
17.．（天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷）对于各数互不相等的整数数组
（n 是不小于 3 的正整数），若对任意的 p， ，当 时有
，则称 是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆
序 数 ”，如 数 组 （ 2,3,1 ） 的 逆 序 数 等 于 2. 若 数 组 的 逆 序 数 为 n ， 则 数 组
的逆序数为_________；
18.．（天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷）设{an}是等比数列，公比 ，Sn
为{an}的前 n 项和.记 ， ，设 为数列{Tn}的最大项，则 n0=__________；
三、解答题
19.．（天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学（理）试题） 已知 A( , )，B( , )是函数
的图象上的任意两点（可以重合），点 M 在
直线 上，且 .
（1）求 + 的值及 + 的值
（2）已知 ，当 时， + + + ，求 ；
（3）在（2）的条件下，设 = ， 为数列{ }的前 项和，若存在正整数 、 ，
1 2 36,b b a= = 26 1nb a <
{ }na 7( 1)( )8
n
na n= +
{ }na
{ }na 1 3 2n
n na a+ = +
1 1a = { }na
1 1 1
1 3 3 5 (2 1)(2 1)S n n
= + +⋅⋅⋅+× × − +
S =
),,,,( 321 niiii … },,3,2,1{ nq …∈ qp <
qp ii > qp ii ,
),,,,( 321 niiii …
),,,( 11 iii nn …−
2=q
1
217
+
−=
n
nn
n a
SST *Nn ∈
0nT
使得不等式 成立，求 和 的值.
20.．（天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学（理）试题）设等差数列 的首项 及公差 d 都
为整数，前 n 项和为 Sn.
（1）若 ，求数列 的通项公式；
（2）若 求所有可能的数列 的通项公式.
21.．（天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）设等比数列 的前
项和为 ,已知 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)在 与 之间插入 个数,使这 个数组成公差为 的等差数列,
设数列 的前 项和 ,证明: .
22.．（天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））已知数列{an}中,a1=1,若 2an+1-an=
,bn=an-
(1)求证:{ bn }为等比数列,并求出{an}的通项公式;
(2)若 Cn=nbn+ ,且其前 n 项和为 Tn,求证:Tn<3.
{ }na n
nS 1 2 2( )n na S n N ∗
+ = + ∈
{ }na
na 1na + n 2n + nd
1
nd
n nT 15
16nT <
）2n）（1n（n
2-n
++ ）1n（n
1
+
）1n（n
1
+
23.．（天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）已知数列 的前 项和
( 为正整数)
(Ⅰ)令 ,求证:数列 是等差数列,并求数列 的通项公式;
(Ⅱ)令 ,试比较 与 的大小,并予以证明
24. ．（ 天 津 南 开 中 学 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 数 学 理 试 卷 ） 已 知 数 列 满 足
,
(1)证明:数列 是等比数列,并求出 的通项公式
(2)设数列 的前 n 项和为 ,且对任意 ,有 成立,求
25.．（2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））设数列 的前 项和为 .已
知 ， ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）记 为数列 的前 项和，求 ．
26.．（天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学）设数列{a }的前 n 项和为 S ，且满足
S =2-a ，n=1，2，3，…
（1）求数列{a }的通项公式；（4 分）
（2）若数列{b }满足 b =1，且 b =b +a ，求数列{b }的通项公式；（6 分）
（3）设 C =n（3- b ），求数列{ C }的前 n 项和 T 。（6 分）
}{ na
( )2,34,3,1 *
1121 ≥∈−=== −+ nNnaaaaa nnn
}{ 1 nn aa −+ }{ na
}{ nb nS *Nn ∈ 122 2
2
1
1 +=+++ nna
b
a
b
a
b
n
n
nS
n
n n
n n
n
n 1 1+n n n n
n n n n
{ }na n
11( ) 22
n
n nS a −= − − + n
2n
n nb a= { }nb { }na
1 2
1 ,n n n n
nC a T C C Cn
+= = + + + nT 5
2 1
n
n +
{ }na nS
1 1a = 1 3 1n na S+ = + n ∗∈N
{ }na nT { }nna n nT
27.．（天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三联考试题数学（理）试题）已知数列 的前 项和
为 ,且 ,
数列 满足 ,且点 在直线 上.
(Ⅰ)求数列 、 的通项公式;
(Ⅱ)求数列 的前 项和 ;
(Ⅲ)设 ,求数列 的前 项和 .
28.．（天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题）对 n∈N∗ 不等式 所表示
的平面区域为 Dn,把 Dn 内的整点(横坐标与纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排
成 点 列 (x1,y1),(x2,y2),⋯,(xn,yn), 求 xn,yn;(2) 数 列 {an} 满 足 a1=x1, 且 n≥2 时 an=yn2
证明:当 n≥2 时,
;(3)在(2)的条件下,试比较 与 4 的大小关系.
29. ．（ 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 数 学 理 试 题 ） 数 列 {an} 满 足
4a1=1,an-1=[(-1)nan-1-2]an(n≥2),(1)试判断数列{1/an+(-1)n}是否为等比数列,并证明;(2)设
an2∙bn=1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
30.．（天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题）已知 ,点 在函数
的图象上,其中
(1)证明数列 是等比数列;
(2)设 ,求 及数列 的通项;
(3)记 ,求数列 的前 项和 .
{ }na n
nS *2 2 ( )n nS a n N= − ∈
{ }nb 1 1b = *
1( , ) ( )n nP b b n N+ ∈ 2y x= +
{ }na { }nb
{ }n na b⋅ n nD
2 2 *sin cos ( )2 2n n n
n nc a b n N
π π= ⋅ − ⋅ ∈ { }nc 2n 2nT
+−≤
>
>
nnxy
y
x
2
,0
,0
).111( 2
1
2
2
2
1 −
+++
nyyy
222
1 1
)1( nn
a
n
a nn =−+
+ )11()11()11()11(
321 naaaa
+⋅⋅+⋅+⋅+
1 2a = 1( , )n na a +
2( ) 2f x x x= + 1,2,3n =
{ }lg(1 )na+
1 2(1 ) (1 ) (1 )n nT a a a= + ⋅ + ⋅ ⋅ + nT { }na
1 1
2n
n n
b a a
= + + { }nb n nS
31.．（天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）设数列{ }的前 项和为 ，且满足 =2-
，( =1，2，3，…)
(Ⅰ)求数列{ }的通项公式；
(Ⅱ)若数列{ }满足 =1，且 ，求数列{ }的通项公式；
(Ⅲ) ,求 的前 项和
32.．（天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分 14 分）已知数列{an}的
前 n 项和 ，数列{bn}满足 .
（1）求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设数列 的前 n 项和为 Tn，证明： 且 时， ；
（3）设数列{cn}满足 （ 为非零常数， ），问是否存在整数 ，
使得对任意 ，都有 .
na n nS nS
na n
na
nb 1b 1n n nb b a+ = + nb
2
)b-n(3 n=nc nc n nT
)(2)2
1( *1 NnaS n
nn ∈+−−= −
n
n
n ab 2=
+
nan
n 1 *Nn ∈ 3≥n 12
5
+>
n
nTn
nca nn
nn λ1)1()3( −−=− λ *Nn ∈ λ
*Nn ∈ nn cc >+1
最新 2013 届天津高三数学试题精选分类汇编 5：数列参考答案
一、选择题
1. C
2. A
3. A
4. 【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，即 ，解得 。若存在两项
， 有 ， 即 ， ， 即 ， 所 以
， 即 。 所 以
， 当 且 仅 当 即
取等号，此时 ，所以 时取最小值，所以最小值为
，选 A.
5. 【答案】C
【解析】由 ，得 。由 ，德 。所
以 ，选 C.
6. 【答案】C
解:设三个内角 为等差数列,则 ,所以 .又 为等比数列,所以
, 即 , 即 , 所 以
,所以三角形为等边三角形,选 C.
7. 【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，即 ，解得 。若存在两项
， 有 ， 即 ， ， 即 ， 所 以
， 即 。 所 以
7 6 5= 2a a a+ 2
5 5 5= 2a q a q a+ 2 2 0q q− − = 2q =
,n ma a 14m na a a= 2
116m na a a= 2 2 2
1 116m na q a+ − = 22 16m n+ − =
2 4, 6m n m n+ − = + = 16
m n+ =
1 4 1 4 1 4 1 4 3( )( ) (5 ) (5+2 )=6 6 6 2
m n m n m n
m n m n n m n m
++ = + = + + ≥ × 4 =m n
n m
2 24 , 2n m n m= = 6 3m n m+ = = 2, 4m n= =
3
2
1 4 7 =39a a a+ + 4 43 =39 =13a a， 3 6 9 =27a a a+ + 6 63 =27 =9a a，
1 9 4 6
9
9( ) 9( ) 9 (13 9)= = =9 11=992 2 2
a a a aS
+ + × += ×
, ,A B C 2A C B+ = 60B = , ,a b c
2ac b= 2 2 2 2 22 cos60b a c ac a c ac ac= + − = + − = 2 2 2 0a c ac+ − =
2( ) 0,a c a c− = =
7 6 5= 2a a a+ 2
5 5 5= 2a q a q a+ 2 2 0q q− − = 2q =
,n ma a 14m na a a= 2
116m na a a= 2 2 2
1 116m na q a+ − = 22 16m n+ − =
2 4, 6m n m n+ − = + = 16
m n+ =
， 当 且 仅 当 即
取等号，此时 ，所以 时取最小值，所以最小值为
，选 A.
8. 【答案】D
【解析】由 得， ，即 ，所以 ，选 D.
9. 【答案】A
解 ： 因 为 成 等 差 数 列 ， 所 以 ， 即 ， 所 以
，即 ，所以 ，所以 ，所以
的前 5 项和 ，选 A.
二、填空题
10. 【答案】16
【解析】在等比数列中， ，所以由 ，得 ，即
。
11.
12. 【答案】
【 解 析 】 因 为 ， 所 以 ， 即 数 列 是 以
为首项，公比 的等比数列，所以数列的通项 。所以
13. 【答案】6
解:在等差数列中, ,所以 , .所以在等比数列中
1 4 1 4 1 4 1 4 3( )( ) (5 ) (5+2 )=6 6 6 2
m n m n m n
m n m n n m n m
++ = + = + + ≥ × 4 =m n
n m
2 24 , 2n m n m= = 6 3m n m+ = = 2, 4m n= =
3
2
5 2 83( )S a a= + 1 5
5
5( ) 3 22
a a a
+ = × 3 55 6a a= 5
3
5
6
a
a
=
1 2 34 ,2 ,a a a 1 3 24 4a a a+ = 2
1 1 14 4a a q a q+ =
2 4 4 0q q− + = 2( 2) 0 2q q− = =， 1 1
1 2n n
na a q − −= = 11 1( )2
n
na
−=
na
1
5
5
5
11(1 ( ) ) 1 312 2[1 ( ) ]1 2 161 2
S
−
= = − =
−
2 98 40 60a a a a= 2 2 98log ( ) 4a a = 4
2 98 2 16a a = =
40 60 16a a =
12 3, 1n
na n+= − ≥
1 2 3n na a+ = + 1 3 2 3 3 2( 3)n n na a a+ + = + + = + { 3}na +
1 3 4a + = 2q = 1 13 4 2 2 , 1n n
na n− ++ = × = ≥
12 3, 1n
na n+= − ≥
7 1 6 4a a d= + = 1
2d = 3 1 2 1 1 2a a d= + = + =
2( ) 3 3 1f n n n= − +
, 即 . 所 以 , . 则 由
,得 ,即 ,所以 的最小值为 6.
14. 【答案】6 或 7
【解析】假设 最大，则有 ，即 ，所以 ，
即 ，所以最大项为第 6 或 7 项。
15. 【答案】
【 解 析 】 设 ， 即 ， 所 以
，即 ，所以数列 是以 为首项，公比 的等比
数列，所以 ，所以 .
16. 【答案】
【解析】 ，所以 ，
。
17.
18. 【答案】4
解 ： 设 首 项 为 ， 则 ， ， ， 所 以
， 因 为
2 1b b q= 2
1
2 1
6 3
bq b
= = = 26 1
25 2725 1 2 2a a d= + = + = 1 1
1
16( )3
n n
nb b q − −= =
1 5
26
1 276( ) 3 13 2
n n
nb a − −= × = < 5 0n− < 5n > n
na 1
1
n n
n n
a a
a a
+
−
≥
≤
1
1
7 7( 1)( ) ( 2)( )8 8
7 7( 1)( ) ( )8 8
n n
n n
n n
n n
+
−
+ ≥ +
+ ≥
7( 1) ( 2) 8
7( 1) 8
n n
n n
+ ≥ + ×
+ ≥
6 7n≤ ≤
3 2 ,n n
na n N= − ∈
1
1 2 3( 2 )n n
n na x a x+
+ + = +
1
1 3 3 2 2 3 2n n n
n n na a x x a x+
+ = + − = +
1x = 1
1 2 3( 2 )n n
n na a+
+ + = + { 2 }n
na + 1 2 3a + = 3q =
12 3 3 3n n n
na −+ = × = 3 2 ,n n
na n N= − ∈
2 1
n
n +
1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n n
= −− + − +
1 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 2 1 2 1S n n
= − + − + + −− +
1 1(1 )2 2 1 2 1
n
n n
= − =+ +
2
32 nn −
1a 1[1 ( 2) ]
1 2
n
n
aS
−=
−
2
1
2
[1 ( 2) ]
1 2
n
n
aS
−=
− 1 1( 2)n
na a+ =
1
217
+
−=
n
nn
n a
SST
2
1 1
1
17 [1 ( 2) ] [1 ( 2) ]
1 2 1 2
( 2)
n n
n
a a
a
− −−
− −=
21 ( 2) 17( 2) 16
1 2 ( 2)
n n
n
− +=
−
1 1[( 2) 17]
1 2 ( 2)
n
n
= + −
−
，当且仅当 ，即 ， 时
取等号，此时 ,有最大值，所以
.
三、解答题
19. 解：（Ⅰ）∵点 M 在直线 x= 上，设 M .
又 ＝ ，即 ， ，
∴ + =1.
① 当 = 时， = ， + = ；
② 当 时， ，
+ = + = = =
综合①②得， + .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 + =1 时, +
∴ ，k= .
n≥2 时， + + + ， ①
， ②
①＋②得，2 =-2(n-1),则 =1-n.
当 n=1 时， =0 满足 =1-n. ∴ =1-n.
（Ⅲ） = = ， =1+ + = .
16 16( 2) 2 ( 2) 8
( 2) ( 2)
n n
n n
+ ≥ × = 16( 2)
( 2)
n
n
= ( 2) 4n = 4n =
1 1 1 9[( 2) 17] (8 17)
1 2 ( 2) 1 2 2 1
n
n nT = + − ≤ × − =
− − −
0 4n =
.
=2- ， = -2+ =2- ，
∴ ， 、m 为正整数，∴c=1，
当 c=1 时， ，
∴1< <3，
∴m=1.
20.解：（Ⅰ）由
又
故解得
因此， 的通项公式是 1，2，3，…，
（Ⅱ）由 得
即
由①+②得－7d<11，即
由①+③得 , 即 ,
于是 又 ，故 .
将 4 代入①②得
又 ，故
所以，所有可能的数列 的通项公式是
1，2，3，….
21.设等比数列 的前 项和为 ,已知 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)在 与 之间插入 个数,使这 个数组成公差为 的等差数列,设数列 的前
项和 ,证明: .
【D】18．解(Ⅰ)由 N*)得 N*, ),
两式相减得: , 即 N*, ),
∵ 是等比数列,所以 ,又
则 ,∴ ,
∴
(Ⅱ)由(1)知 ,
∵ , ∴ ,
令 ,
则 + ①
②
①-②得
{ }na n nS 1 2 2( )n na S n N ∗
+ = + ∈
{ }na
na 1na + n 2n + nd 1
nd
n nT 15
16nT <
1 2 2(n na S n+ = + ∈ 12 2(n na S n−= + ∈ 2n ≥
1 2n n na a a+ − = 1 3 (n na a n+ = ∈ 2n ≥
{ }na 2 13a a= 2 12 2,a a= +
1 12 2 3a a+ = 1 2a =
12 3n
na −=
1 2 3n
na + =
12 3n
na −=
1 ( 1)n n na a n d+ = + +
14 3
1
n
nd n
−×= +
1 2 3
1 1 1
nT d d d
= + + + 1
nd
+
0 1 2
2 3 4
4 3 4 3 4 3nT = + +× × × 1
1
4 3n
n
−
++
+⋅+⋅=
21 34
3
34
2
3
1
nT 1
1
4 3 4 3n n
n n
−
++ +
0 1 2
2 2 1 1
3 4 3 4 3 4 3nT = + + +
1
1 1
4 3 4 3n n
n
−
++ −
1
1 1(1 )1 1 1 5 2 53 3
12 4 4 3 8 8 31 3
n
n n
n n−− + += + × − = −
−
22.解:(1)
----6
{bn}为等比数列, 又 b1 = , q= ---------------------7
(2)由(1)可知
------------------------13
23.解:(I)在 中,令 n=1,可得 ,即
当 时, ,
.
.
又 数列 是首项和公差均为 1 的等差数列.
于是 .
(II)由(I)得 ,所以
①
1
15 2 5 15
16 16 3 16n n
nT −
+∴ = − <
2
1
)1(
1
)2)(1(
1
)2)(1(2
2
2
)1(
1
)2)(1(
1
1
1 =
+−
++−++
−+
=
+−
++−
=
+
+
nna
nnnnn
na
nna
nna
b
b
n
n
n
n
n
n
∴ 2
1
2
1 ∴ n
nb )2
1(=
)1(
1
2 ++=
nn
nC nn
∴
)1(
1
32
1
21
1
22
3
2
2
2
11 32 ++−−−+×+×++−−−+++•=
nn
nT nn
∴ 31
1
2
23 <+−+−=
n
nT nn
11( ) 22
n
n nS a −= − − +
1 11 2nS a a= − − + = 1
1
2a =
2n ≥
2 1
1 1 1 1
1 1( ) 2 ( )2 2
n n
n n n n n n nS a a S S a a− −
− − − −= − − + ∴ = − = − + +，
1 1
n 1 1
12a ( ) , 2 12
n n
n n na a a− −
− −∴ = + = +n即2
1 12 , 1, n 2 1n
n n n n nb a b b b− −= ∴ = + ≥ − = n即当 时，b
1 12 1,b a= = ∴ }{ nb
1 ( 1) 1 2 , 2
n
n n n n
nb n n a a= + − ⋅ = = ∴ =
1 1( 1)( )2
n
n n
nc a nn
+= = +
②
由 ①-② 得
于是确定 的大小关系等价于比较 的大小
由
可猜想当 证明如下:
证法 1:(1)当 n=3 时,由上述验算显示成立.
(2)假设 时
所以当 时猜想也成立
综合(1)(2)可知,对一切 的正整数,都有
证法 2:当 时,
综上所述,当 ,当 时
24.解:(1)由 可得 ,
是以 2 为首项,3 为公比的等比数列
1
1
1
1 1[1 ( ) ] 1 3 34 21 ( 1)( )1 2 2 21 2
33 2
n
n
n
n n
nn
nT
−
+
+
− += + − + = −
−
+∴ = −
5 3 5 ( 3)(2 2 1)32 1 2 2 1 2 (2 1)
n
n n n
n n n n nT n n n
+ + − −− = − − =+ + +
5
2 1n
nT n +与 2 2 1n n +与
3 2 2 1.nn n≥ > +时，
1n k= +
1n k= +
3n ≥ 2 2 1.n n> +
3n ≥
1,2n = 时
5
2 1n
nT n
< + 3n ≥
5
2 1n
nT n
> +
11 34 −+ −= nnn aaa 2),(3 1211 =−−=− −+ aaaaaa nnnn
}{ 1 nn aa −∴ +
112211 )()()( aaaaaaaa nnnnn +−++−+−=∴ −−−
(2) 时,
时,
设
则
综上,
25.解：（Ⅰ）由题意， ，则当 时， .
两式相减，得 （ ）. ……………………………………………2 分
又因为 ， ， ，……………………………………………4 分
所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，……………………5 分
所以数列 的通项公式是 （ ）. ………………………………6 分
（Ⅱ）因为 ，
所以 ， ……………………8 分
1
1
3131
)31(2 −
−
=+−
−= n
n
1=n 3,3,3 11
1
1 === Sba
b
2≥n 1322,2)12(12 −×===−−+= n
nn
n
n nnabnnna
b
12 323323223 −××++××+××+= n
n nS
1)3333231(2 1210 +×++×+×+×= −nn
1210 3333231 −×++×+×+×= nnx
nn nnx 33)1(3332313 1321 ×+×−++×+×+×= −
2
133)333(32 021 −−×=+++−×= −−
n
nnnn nnx
2
332
1 +×
−= n
n nS
2
332
1 +×
−= n
n nS
1 3 1n na S+ = + 2n ≥ 13 1n na S −= +
1 4n na a+ = 2n ≥
1 1a = 2 4a = 2
1
4a
a
=
{ }na 1 4
{ }na 14n
na −= n ∗∈N
2 1
1 2 32 3 1 2 4 3 4 4n
n nT a a a na n −= + + + + = + × + × + + ⋅
2 3 14 4 1 2 4 3 4 ( 1) 4 4n n
nT n n−= × + × + × + + − ⋅ + ⋅
两式相减得， ， ………11 分
整理得， ( ). ………………………………13 分
26. （1）a =S =1 1 分
n≥2 时，S =2-a 1 分
S =2-a 1 分
a =a +a
2a = a ∵a =1
= 1 分
∴a =( ) 1 分
（2）b -b =（ ) 1 分
1 分
∴b -b =( )+……+（ ) = 1 分
=2-
∴b =3- 1 分
∵b =1 成立 1 分
∴b =3-（ )
1 1
n n
1−n 1−n
n n 1−n
n 1−n 1
1−n
n
a
a
2
1
n 2
1 1−n
1−n n 2
1 1−n
=−
=−
=−
−
−
2
1
1
23
0
12
)2
1(
)2
1(
)2
1(
n
nn bb
bb
bb
n 1 2
1
2
1 2−n
2
11
2
11 1
−
− −n
22
1
−n
n 22
1
−n
1
n 2
1 2−n
2 1 1 43 1 4 4 4 4 41 4
n
n n n
nT n n− −− = + + + + − ⋅ = − ⋅−
3 1 149 9
n
n
nT
−= ⋅ + n ∗∈N
（3）C =n（ ) 1 分
T =1×（ ) +2（ ) +……+n（ )
T =1×（ ) +……+(n-1) （ ) +n（ )
=2+ -n（ )
=2+2-（ ) -n（ )
∴T =8- - =8-
27. 【解】(Ⅰ)当 ,
当 时,
∴ ,∴ 是等比数列,公比为 2,首项
∴
又点 在直线 上,∴ ,
∴ 是等差数列,公差为 2,首项 ,∴
(Ⅱ)∴
∴ ①
②
①—②得
n 2
1 2−n
n 2
1 1−
2
1 0
2
1 2−n
2
1
n 2
1 0
2
1 2−n
2
1 1−n
2
11
2
11 1
−
− −n
2
1 1−n
2
1 2−n
2
1 1−n
n 32
1
−n 22 −n
n
22
2
−
+
n
n
1=n 21
=a
2≥n 1 12 2n n n n na S S a a− −= − = −
12 ( 2)n na a n−= ≥ { }na 1 2a =
2n
na =
*
1( , ) ( )n nP b b n N+ ∈ 2y x= + 1 2n nb b+ = +
{ }nb 11
=b 2 1nb n= −
(2 1) 2n
n na b n⋅ = − ×
1 2 3 4 11 2 3 2 5 2 7 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n
nD n n−= × + × + × + × + − × + − ×
2 3 4 5 12 1 2 3 2 5 2 7 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n
nD n n += × + × + × + × + − × + − ×
1 2 3 4 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2n n
nD n +− = × + × + × + × + × − − ×
1
1 14(1 2 )2 2 (2 1) 2 2 (3 2 ) 61 2
n
n nn n
−
+ +−= + × − − × = − −−
1(2 3)2 6n
nD n += − +
(Ⅲ)
28.解:(1)当 n=1 时,(x1,y1)=(1,1)
n=2 时,(x2,y2)=(1,2) (x3,y3)=(1,3)
n=3 时,(x4,y4)=(1,4)
n 时 (xn,yn)=(1,n)
(2)由
(3)当 n=1 时, 时, 成立
由(2)知当 n≥3 时, 即
=
=
=
= 得证
2
(2 1)
n
nc
n
= − − 为偶数
为奇数
n
n
2 1 3 2 1 2 4 2( ) ( )n n nT a a a b b b−= + + + − + +
2 1
3 2 1 22 22 2 2 [3 7 (4 1)] 23
n
n n n n
+
− −= + + + − + + + − = − −
1 ( *)n
n
x n Ny n
=∴ ∈ =
2 2 2 2 2
1
2 2 2
1
2 2 2 2 2
1 1 1 1( )1 2 3 ( 1) 1
1 1 1 1 ( 1)( )( 1) 1 2 3
n
n n
n
a
n n a a
a n n n
n n
+
+
= + + + + − ∴ − = + = + + + + +
1
11 2 4, 2na
+ = < =
1 2
1 1 5(1 )(1 ) 2 44a a
+ + = × <
1
2 2
1
( 1)
n na a
n n
+ +=+
2
2
1
1
( 1)
n
n
a n
a n+
+ = +
31 2
1 2 3 1 2 3
1 11 11 1 1 1(1 )(1 )(1 ) (1 ) n
n n
a aa a
a a a a a a a a
+ ++ ++ + + + = ⋅ ⋅
3 11 2
2 3 4
1 11 11 (1 )n
n
n
a aa a aa a a a a
−+ ++ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
2 2 2 2
12 2 2 2
1 2 3 ( 1)2 4 3 4 ( 1) n
n n an n +
−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+
1
2 2 2 2 2
1 1 1 12 2[1 ]( 1) 2 3 ( 1)
na
n n n
+⋅ = + + + + ++ −
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1( 2) 2[1 (1 ) ( ) ( )]( 1) 1 2 2 3 1nn n n n n n n
< = − ≥ < + − + − + + −− − −
1 22(2 ) 4 4n n
− = − <
29.解:(1)由
即
另:
是首项为 3 公比为-2 的等比数列
(2)由
=
30. (Ⅰ)由已知 ,
,两边取对数得
,即
是公比为 2 的等比数列.
1
1 2( 1)n
n na a −
= − −
1
1
1 1[ ( 1) ] 2[ ( 1) ]n n
n na a
−
−
+ − = − − −
1
1
1 ( 1)
2( * 2)1 ( 1)
n
n
n
n
a n N n
a
−
−
+ −
= − ∈ ≥
+ −
且
1
1 1
1 1
1 1
( 1) 21 ( 1) ( 1) 2( 1) 2 21 1 ( 1) 1( 1) ( 1)
n
n nn
n
n n n
n
n n n
n n
a
a a a
a
a a
−
− −
− −
− −
− −+ − + − − −= = = −− ++ − + −
1 ( 1)n
na
∴ + −
1 1 11 1( 1) 3( 2) 3( 2) ( 1)n n n n
n na a
− − −+ − = − ∴ = − + −
2 1n na b =
1 1
2
1 9 4 6 2 1n n
n
n
b a
− −∴ = = ⋅ + ⋅ +
9(4 1) 6(2 1)
4 1 2 1
n n
nS n
− −= + +− −
3 4 6 2 9( *)n n n n N⋅ + ⋅ + − ∈
2
1 2n n na a a+ = + 2
1 1 ( 1)n na a+∴ + = +
1 2a = 1 1na∴ + >
1lg(1 ) 2lg(1 )n na a++ = + 1lg(1 ) 2lg(1 )
n
n
a
a
++ =+
{lg(1 )}na∴ +
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 (*)
=
由(*)式得
(Ⅲ)
又
.
31.解: (Ⅰ)∵n=1 时，a1+S1=a1+a1=2
∴a1=1
∵Sn=2-an 即 an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2
两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0
即 an+1-an+an+1=0，故有 2an+1=an
∵an≠0 ∴ (n∈N*)
所以，数列{an}为首项 a1=1，公比为 的等比数列.an= (n∈N*)
1
1lg(1 ) 2 lg(1 )n
na a−+ = ⋅ + 11 22 lg3 lg3 nn −−= ⋅ = 121 3 n
na
−∴ + =
1 2(1 )(1 )nT a a∴ = + + n… ( 1+a ) 0 1 22 2 23 3 3= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n- 12… 3 21 2 23 + + += n- 1… +2 n2 - 13
123 1n
na
−= −
2
1 2n n na a a+ = + 1 ( 2)n n na a a+∴ = +
1
1 1 1 1( )2 2n n na a a+
∴ = − +
1
1 1 2
2n n na a a +
∴ = −+
1 1
2n
n n
b a a
= + + 1
1 12( )n
n n
b a a +
∴ = −
1 2nS b b∴ = + + n… +b
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 12( )
n na a a a a a +
= − + − + −… +
1 1
1 12( )
na a +
= −
12 2
1 13 1, 2, 3 1n n
n na a a
−
+= − = = − 2
21
3 1nnS∴ = −
−
2
11 =+
n
n
a
a
2
1 1)2
1( −n
bn-b1=1+
又∵b1=1，∴bn=3-2( )n-1(n=1，2，3，…)
(3)
所以
32.解：（1）在 中，令 n=1，可得 ，即
当 时， ，∴ ，
∴ ，即 .
∵ ，∴ ，即当 时， .
又 ，∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列.
于是 ，∴ .
（2）由（1）得 ，所以
①
1
1
232 )2
1(22
2
11
)2
1(1
)2
1()2
1()2
1(2
1 −
−
− −=
−
−
=++++ n
n
n
2
1
1-2nn
nc =
2 1 2 1 1
1 1 1 22 2 1 4 42 2 2 2 2 2n n n n n n n n
n n nT T T − − − − −
+= − = + + + + − = − − = −
2)2
1( 1 +−−= −n
nn aS 11 21 aaS n =+−−=
2
1
1 =a
2≥n 2)2
1( 2
11 +−−= −
−−
n
nn aS 1
11 )2
1( −
−− ++−=−= n
nnnnn aaSSa
1
1 )2
1(2 −
− += n
nn aa 122 1
1 += −
−
n
n
n
n aa
n
n
n ab 2= 11 += −nn bb 2≥n 11 =− −nn bb
12 11 == ab
n
n
n annb 21)1(1 ==⋅−+=
nn
na 2
=
n
nn nan
nc )2
1)(1(1 +=+=
n
n nT )2
1)(1()2
1(4)2
1(32
12 32 ++…+×+×+×=
②
由①－②得
∴
于是确定 Tn 与 的大小关系等价于比较 与 2n+1 的大小
由
可猜想当 时， .证明如下：
证法 1：①当 n=3 时，由上验算显示成立.
②假设 n=k+1 时
所以当 n=k+1 时猜想也成立
综合①②可知，对一切 的正整数，都有 .
证法 2：当 时
综上所述，当 n=1,2 时 ，当 时
（3）∵
∴
∴ ①
1432 )2
1)(1()2
1(4)2
1(3)2
1(22
1 +++…+×+×+×= n
n nT
132 )2
1)(1()2
1()2
1()2
1(12
1 ++−+…+++= nn
n nT
1
1
1
2
3
2
3)2
1)(1(
2
11
])2
1(1[4
1
1 +
+
−
+−=+−
−
−
+=
n
n
n
nn
nn
nT 2
33
+−=
)12(2
)122)(3(
12
5
2
3312
5
+
−−+=+−+−=+−
n
nn
n
nn
n
nT n
n
nn
12
5
+n
n n2
…×<+×<+×<+×<+×< ;522;1422;1322;1222;1122 5432
3≥n 122 +> nn
1)1(2)12(1)1(224)12(2222 1 ++>−+++=+=+>=+ kkkkkg kk
3≥n 122 +> nn
3≥n
1222)11(2 1101210 +>+=+++≥++…+++=+= −− nnCCCCCCCCC n
n
n
nnn
n
n
n
nnnn
nn
12
5
+<
n
nTn 3≥n 12
5
+>
n
nTn
nnn
n
n
n
n a
nc 2)1(3)1(3 1
1
⋅−+⋅−+= −
−
λλ
]2)1(3[]2)1(3[ 111
1
nnnnnn
nn cc ⋅−+−⋅−+=− −++
+ λλ
02)1(332 1 >⋅−−⋅= − nnn λ
1
1
2
3)1(
−
−
<⋅−
n
n λ
当 n=2k－1，k=1,2,3,……时，①式即为 ②
依题意，②式对 k=1,2,3……都成立，∴
当 n=2k,k=1,2,3,……时，①式即为 ③
依题意，③式对 k=1,2,3……都成立，
∴ ∴ ，又
∴存在整数 ，使得对任意 有 .
22
2
3 −
<
k
λ
1<λ
12
2
3 −
−>
k
λ
2
3−>λ 12
3 <<− λ 0≠λ
1−=λ *Nn ∈ nn cc >+1