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- 2021-06-03 发布
2020 年中考数学一次函数、反比例函数综合题专题卷训练
1．[2019·泸州]如图，一次函数 y1=ax+b 和反比例函数 y2=
的图象相交于 A，
B 两点，则使 y1>y2 成立的 x 的取值范围是 ( )
A.．-24 D．-24
【答案】B
【解析】观察函数图象，发现:当 x<-2 或 0y2 时，x 的取值范围是 x<-2 或 00)的图象交于 A(1，3)，
B(3，1)两点，若 y13 或 03 或 03 或 02
2
B．m<-2
2C．m>2
2
或 m<-2
2
D．-2
2
0，
∴m>2
2
或 m<-2
2
．
4．[2019·玉林]如图，一次函数 y1=(k-5)x+b 的图象在第一象限与反比例函数
y2=
的图象相交于 A，B 两点，当 y1>y2 时，x 的取值范围是 10)与 x 轴交于点 P，与双曲线
y=
3
(x>0)交于点 Q，若直线 y=4kx-2 与直线 PQ 交于点 R(点 R 在点 Q 右侧)，
当 RQ≤PQ 时，k 的取值范围是 k≥
1
5
．
[解析]如图，作 QM⊥x 轴于 M，RN⊥x 轴于 N，
∴QM∥RN，∴
t
=
㌹
㌹
，
∵RQ≤PQ，∴MN≤PM，
∵直线 y=kx+2k(k>0)与 x 轴交于点 P，
∴P(-2，0)，∴OP=2，
解 kx+2k=
3
得，x1=-3，x2=1，
∴Q 点的横坐标为 1，∴M(1，0)，∴OM=1，
∴PM=2+1=3，解 kx+2k=4kx-2 得，x=
2 +2
3
，
∴R 点的横坐标为
2 +2
3
，
∴N（
2 +2
3
，0），∴ON=
2 +2
3
，
∴MN=
2 +2
3
-1，
∴
2 +2
3
-1≤3，解得 k≥
1
5
，故答案为 k≥
1
5
．
7．[2019·巴中]如图，一次函数 y1=k1x+b(k1，b 为常数，k1≠0)的图象与反比
例函数 y2=
2
(k2≠0，x>0)的图象交于点 A(m，8)与点 B(4，2)．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象说明，当 x 为何值时，k1x+b-
2
<0．
解:(1)∵点 B(4，2)在反比例函数 y2=
2
(k2≠0，x>0)的图象上，∴2=
2
4
，解得
k2=8，∴反比例函数解析式为 y2=
8
(x>0)．
当 y2=8 时，8=
8
，
∴m=1，∴点 A 坐标为(1，8)，
将 A(1，8)，B(4，2)的坐标代入 y1=k1x+b，
可得
8 = 1 +
，
2 = 4 1 +
，
∴
1 =
-
2
，
= 10
，
∴一次函数解析式为 y1=-2x+10．
(2)由图象可知 x 的取值范围为 04．
8．[2019·攀枝花]如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+b 的图象
与反比例函数 y=
的图象在第二象限交于点 B，与 x 轴交于点 C，点 A 在 y
轴上，满足条件:CA⊥CB，且 CA=CB，点 C 的坐标为(-3，0)，cos∠ACO=
5
5
．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)直接写出当 x<0 时，kx+b<
的解集．
解:(1)如图，作 BH⊥x 轴于点 H，
则∠BHC=∠BCA=∠COA=90°，
∴∠BCH=∠CAO．
∵点 C 的坐标为(-3，0)，
∴OC=3．
∵cos∠ACO=
5
5
，
∴AC=3
5
，AO=6．
在△BHC 和△COA 中，
∠ = ∠ th = 90
°，
∠ = ∠ ht
，
= h
，
∴△BHC≌△COA．
∴BH=CO=3，CH=AO=6．
∴OH=9，即 B(-9，3)．
∴m=-9×3=-27，
∴反比例函数的表达式为 y=-
27
．
(2)∵在第二象限中，B 点右侧一次函数的图象在反比例函数图象的下方，∴
当 x<0 时，kx+b<
的解集为-90)上的一点，过点 P 作 x 轴的
垂线交直线 AB:y=
1
2
x-2 于点 Q，连接 OP，OQ．当点 P 在曲线 C 上运动，
且点 P 在 Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是 ．
【答案】3
[解析]∵点 P 是双曲线 C:y=
4
(x>0)上的一点，∴可设点 P 坐标为(m，
4
)，
∵PQ⊥x 轴，Q 在 y=
1
2
x-2 图象上，∴Q 坐标为(m，
1
2
m-2)，PQ=
4
-(
1
2
m-2)，
∴△POQ 的面积=
1
2
m×[
4
-(
1
2
m-2)]=-
1
4
(m-2)2+3，∴当 m=2 时，△POQ 面
积最大，最大值为 3．
13．[2019·宁波]如图，过原点的直线与反比例函数 y=
(k>0)的图象交于 A，B
两点，点 A 在第一象限，点 C 在 x 轴正半轴上，连接 AC，交反比例函数
图象于点 D．AE 为∠BAC 的平分线，过点 B 作 AE 的垂线，垂足为 E，连
接 DE，若 AC=3DC，△ADE 的面积为 8，则 k 的值为 6 ．
[解析]连接 OE，OD，在 Rt△ABE 中，点 O 是 AB 的中点，∴OE=
1
2
AB=OA，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠OAE=∠DAE，
∴∠OEA=∠DAE，∴AD∥OE，∴S△ADE=S△ADO，
过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M，过点 D 作 DN⊥x 轴于点 N，易得 S 梯 形
AMND=S△ADO=8，
∵△CAM∽△CDN，CD∶CA=1∶3，∴S△CAM=9，
延长 CA 交 y 轴于点 P，易得△CAM∽△CPO，可知 DC=AP，∴CM∶
MO=CA∶AP=3∶1，∴S△CAM∶S△AMO=3∶1，∴S△AMO=3，∵反比例函数
图象在第一、三象限，∴k=6．
14．[2019·盐城]如图，一次函数 y=x+1 的图象交 y 轴于点 A，与反比例函数
y=
(x>0)的图象交于点 B(m，2)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求△AOB 的面积．
解:(1)∵一次函数 y=x+1 的图象经过点 B(m，2)，
∴2=m+1，
解得 m=1，则点 B 的坐标为(1，2)，
∵点 B 在反比例函数 y=
(x>0)的图象上，
∴k=2，
∴反比例函数的表达式为 y=
2
(x>0)．
(2)易得点 A(0，1)，∴OA=1，
过点 B 作 BC⊥y 轴，垂足为点 C，
则 BC 就是△AOB 的高，BC=1，
∴S△AOB=
1
2
OA×BC=
1
2
×1×1=
1
2
．
15．[2019·遂宁]如图，一次函数 y=x-3 的图象与反比例函数 y=
(k≠0)的图象
交于点 A 与点 B(a，-4)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若动点 P 是第一象限内双曲线上的点(不与点 A 重合)，连接 OP，且过点
P 作 y 轴的平行线交直线 AB 于点 C，连接 OC，若△POC 的面积为 3，求
出点 P 的坐标．
解:(1)∵点 B(a，-4)在一次函数 y=x-3 的图象上，∴a=-1，∴B(-1，-4)，
∵B(-1，-4)在反比例函数图象上，
∴k=(-1)×(-4)=4，
∴反比例函数的表达式为 y=
4
．
(2)如图，设 PC 交 x 轴于点 H，设 P(m，
4
)(m>0)，则 C(m，m-3)，
由
=
4
，
=
-
3
，
得 x2-3x-4=0，解得 x1=-1，x2=4，∴A(4，1)．
∵PC=|
4
+3-m|，OH=m，
∴△POC 的面积为 3，∴
1
2
|
4
+3-m|·m=3，
∴m1=2，m2=1，m3=5，m4=-2．
∵m>0，点 P 与点 A 不重合，且 A(4，1)，
∴m4=-2 不合题意，舍去，
∴P 点坐标为(1，4)，(2，2)，(5，
4
5
)．
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