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- 2021-06-03 发布
难点二 难点突破强化训练
（一） 选择题（12*5=60分）
1.【2017届山东临沂市高三上学期期中】已知是定义在上的函数，的导函数，且总有，则不等式的解集为
A. B. C. D.（1，+∞）
【答案】B
【解析】设，，函数是单调递减函数，那么定义在上的函数，不等式等价于，解集为，故选B.
2.【2017届贵州遵义市高三上学期期中】已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意，均满足：．若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】时，而也为偶函数，所以，选C.
3. 【2017届四川宜宾市高三上学期期中】设函数是偶函数的导函数，当时，恒有，记则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4. 【2017届重庆市第八中学高三上学期二调】函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，都有成立，∴，于是有，令，则有在上单调递增，∵不等式，∴，∵，∴，∴，故选：A．
5. 【河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛】已知是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
6. 【贵州遵义2017届高三上学期期中联考】设定义在的偶函数，满足对任意都有，且时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】偶函数满足，当时，，即在上为增函数，
，因为，所以，选C.
7. 【2017届山西临汾一中等五校高三联考三】设函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，令，，故当时，，当时，，故在上是减函数，在上是增函数；故；则实数的最小值为故选C．
8. 【2017届河南新乡一中高三周考12.18】设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
9. 【2017届河北唐山市高三上学期期末】已知函数 ，则使得 成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以函数是偶函数.易知函数在是增函数，所以函数在也是增函数，所以不等式等价于，解得或.
10. 【2017届重庆市一中高三上学期期中】已知函数，若对任意都有成立，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为对任意都有成立，所以的最小值为，因为函数，所以，因为，所以方程在范围内只有一根，所以，所以，设，，所以在单调递增，在单调递减，所以，即，故答案选D
11. 【2017届河南中原名校高三上质检三】已知函数的定义域为,为函数
的导函数，当时，且，.则下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，则.因为当时，，即，所以，所以在上单调递增.又，，所以，所以，故为奇函数，所以在上单调递增，所以.即，故选B.
12. 【2017届湖南五市十校高三12月联考】已知函数，且，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
（二）填空题（4*5=20分）
13. 【2017届重庆市第一中学高三12月月考】定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】取，则，易解得；故答案为．
14. 【2017届山东临沂市高三上学期期中】若的导函数，的解集为__________．
【答案】
【解析】令，，所以函数是单调递增函数，又，，所以原不等式等价于，即，所以解集为：.
15. 【2017届山西怀仁县一中高三上期中】已知函数定义在上，是它的导函数，且恒有成立，又知，若关于的不等式解集是___________.
【答案】
16. 【2017届黑龙江宝清县高级中学高三上期中】已知函数，若，对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】在上是增函数 ，由在上是减函数，又原命题等价于.
（三）解答题（4*12=48分）
17. 【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测】已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）设（），讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若斜率为的直线与曲线交于，两点，其中，求证：．
【解析】（Ⅰ）（），令，得，当时，；当时，．则在内递减，在内递增，所以当时，函数取得最小值，且
（Ⅲ）证明：，要证明，即证，等价于，令（由，知），则只需证，由，知，故等价于（）（），①设（），则（），所以在内是增函数，当时，，所以；②设（），则（），所以在内是增函数，所以当时，，即（）．由①②知（）成立，所以
．
18. 【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求所有实数的值；
（3）证明：.
【解析】（1）.当时，，∴减区间为，当时，由得，由得，∴递增区间为，递减区间为.
（2）由（1）知：当时，在上为减函数，而，∴在区间上不可能恒成立；当时，在上递增，在上递减，，令，依题意有，而，且，∴在上递减，在上递增，∴，故.
（3）由（2）知，当时，在上恒成立，即在上恒成立，当且仅当时等号成立.令，则有，即，整理得，当时，分别有，叠加得，即得证.
19. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，21】（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）令，求函数的极值；
（3）若，正实数满足，证明：．
【解析】（1）当时，，则，所以切点为，又，则切线斜率，故切线方程为，即．
（2），则，当时，∵，∴．∴在上是递增函数，函数无极值点．当时，，令得，∴当时，；当时，，因此在上是增函数，在上是减函数，∴时，有极大值，综上，当时，函数无极值；当时，函数有极大值，无极小值．（3）证明：当时，，由，即，从而，令，则由得：，
可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴，∴，∵，∴．
20. 【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考】已知函数.
（Ⅰ）若对定义域内任意，成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，求证：对，不等式恒成立.
【解析】（Ⅰ）的导数为，令得，
所以，恒成立，，即，所以.
（Ⅱ）证明：的导数为，易知在上为增函数.欲证明，从图像分析可先证，先证明，，
即证：，设，，，所以在内为减函数，所以，故对于成立，欲证即证：，令，，
，所以在内为增函数，故成立.综上：对，不等式恒成立.