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- 2021-06-03 发布
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2019年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学（二）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由集合，则或，
又，所以.
2.已知复数，复平面内，复数与所对应的点关于原点对称，与关于实轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由复数与所对应的点关于原点对称，与关于实轴对称可得，
复数与所对应的点关于虚轴对称，，
∴，∴.
3.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以是偶函数，
可得图象关于轴对称，排除C，D；当时，，，，排除B.
4.在中，，，，点为边上一点，且为边上靠近的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴.
5.在中，内角，，的对边分别是，，，外接圆半径为，若
，且的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴由正弦定理得，①，
∵的面积为，∴，
则，代入①得，，
由余弦定理得，.
6.已知双曲线的一条渐近线被圆截得弦长为圆心到渐近线距离的两倍（其中为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（ ）
泄露天机·理科数学 第13页（共14页） 泄露天机·理科数学 第14页（共14页）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，
圆的圆心到双曲线的渐近线的距离为，
∵渐近线被圆截得的弦长为，
∴，∴，即，.
7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框中可以填入的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】该程序框图的功能是计算的值.
要使输出的的值为，则，即，故①中应填.
8.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，，，
由余弦定理，得，
所以，所以所求概率为.
9.长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴异面直线与所成的角即为与所成的角，
在中，，，∴.
10.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再往上平移个
单位，所得图象对应的函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，
可得的图象，再往上平移个单位，得函数的图象.
∵,∴，
∴的最大值为，最小值为，
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故函数的值域为.
11.已知是定义在上的偶函数，对任意都有，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，知函数为周期函数，且周期，
则.
12.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，若，为坐标原点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，则，所以，由题设可知，
设直线的方程为，设，，且，
因为，所以，则①，
由，整理得，
所以，②，
联立①②可得，即直线的方程为，
又，整理得，解得或，
故，，所以根据抛物线的定义可知，
所以.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在处的切线方程为 .
【答案】
【解析】，
∵，∴，.
14.若变量，满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】
【解析】由约束条件作出可行域如图所示，
可化为.当直线过点时，取最大值，
即.
15.已知为第一象限角，，则 .
【答案】
【解析】，因为，所以，
∴.因为，为第一象限角，所以，
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所以.
16.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 .（容器壁的厚度忽略不计，结果保留）
【答案】
【解析】该球形容器最小时，十字立方体与球内接，
此时球直径等于由两个正四棱柱组合而成的几何体的对角线，
即，球形容器的表面积为.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（12分）已知数列是递增的等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和，求满足的最小的的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设的公差为（），
由条件得，∴，∴.
（2），
∴.
由，得.∴满足的最小的的值为.
18.（12分）经调查，个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：
其中：，，，.
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程.（，的值精确到）
（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为的岁的老人，属于哪类人群？
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】（1）画出散点图如图：
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（2），，
∴，.∴回归直线方程为.
（3）根据回归直线方程的预测，
年龄为岁的老人标准收缩压约为（），
∵，∴收缩压为的岁老人为中度高血压人群.
19.（12分）已知椭圆：，其短轴为，离心率为，双曲线（，）的渐近线为，离心率为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）由题意可知：，，，
双曲线的离心率，
则椭圆的离心率为.椭圆的离心率，则.
∴椭圆的标准方程：.
（2）设直线的方程为.，
消去整理得：.
设，，则，，
，
将，，
代入上式得，即.
20.（12分）三角形中，，，，是的中点，是线段上一个动点（不与重合），如图所示，沿将翻折至，使得在平面内的摄影落在上．
（1）当为三等分点且靠近点时，证明：平面；
（2）是否存在，使得与平面所成的角为？若存在，判断的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
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【解析】（1）在中，，，，
所以，即，
则，取的中点，连接交于，，
当时，是的中点，而是的中点，
∴是的中位线，∴.
在中，是的中点，∴是的中点.
在中，，∴，则.
因为在平面内的摄影落在上，所以平面平面，
又平面平面，∴平面.
又平面，∴.
而，∴平面.
（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系.
则，，由（1）知是中点，，
而平面平面.∴平面，则.
假设存在满足题意的，则由.可得，
则.
设平面的一个法向量为，∴与平面所成的角的正弦值.
.
即，解得或.
综上，存在或使得与平面所成的角的正弦值.
21.（12分）已知函数，在点处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）求的单调区间；
（3）若在区间内，恒有成立，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）的单调增区间为，单调减区间为；（3）.
【解析】（1）由题意，，则，
∵在点处的切线方程为，∴切线斜率为，则，
得，将代入方程，得：，解得，
∴，将代入得，故.
（2）依题意知函数的定义域是，且，
令得，，令得，，
故的单调增区间为，单调减区间为.
（3）由，在区间内恒成立，
设，则，
∵在内，单调递减，在内，单调递增，
∴的最小值为，∴.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22.（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，的极坐标方程分别为，.
（1）求和交点的极坐标；
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（2）直线的参数方程为：（为参数），直线与轴的交点为，且与交于，两点，求的值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由，极坐标方程分别为，.
化为平面直角坐标系方程分为，.
得交点坐标为，.即和交点的极坐标分别为，.
（2）把直线的参数方程：（为参数），
代入，得，
即，，所以.
【选修4-5：不等式选讲】
23.（10分）已知函数，.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，正数，满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意，函数，.
若，则有或，解得，
故原不等式的解集为.
（2）函数，
分析可得的最小值为，即；
则正数，满足，即，.
即的最小值为.
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