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- 2021-06-03 发布
广东省清远市清城区高三第一学期期末统考（B）卷
数学（文）试题
(本卷满分150分，时间120分钟)
一、 选择题（60分，每题5分）
1. 已知全集，集合，，则
A. B. C. D.
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A． B．3 C． D．
3．曲线C：在处的切线与直线 ax－y + 1 = 0 互相垂直，则实数的值为( )
A. B. －3 C. D. －
4．若，则c等于 （ ）
A．-a+3b B．a-3b C．3a-b D．-3a+b
5．已知为等差数列，
A. 7 B. 3 C. -1 D. 1
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．12 B．24 C．40 D．72
俯视图
正视图
侧视图
3
6
4
2
7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出S的值
为 ( )
A.15 B.105 C.245 D.945
8．已知双曲线 （，）的左、右焦点分别为、，以、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数的最小正周期为
A．π B．2π C．4π D．8π
10. 下列命题：
①若p，q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件.
②若p为：，则为：.
③命题“”的否命题是“”.
④命题“若则q”的逆否命题是“若p，则”.
其中正确结论的个数是
A．1 B. 2 C.3 D.4
11.为虚数单位，复数的实部和虚部之和为
A.0 B.1 C.2 D.3
12．已知集合，则= （ ）
A．（0，1） B．（-1，1） C． D．
一、 填空题（20分，每题5分）
13． f（x）=x2+lnx，则f（x）在x=1处的切线方程为 ．
14．已知△ABC面积S和三边a，b，c满足：S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则△ABC面积S的最大值为 ．
15．Sn为{an}前n项和对n∈N*都有Sn=1﹣an，若bn=log2an，恒成立，则m的最小值为 ．
16．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣3）=f（x﹣1）成立，当，x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：
（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点
（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心
（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴
（4）f（9.2）＜f（π）
则正确的是 ．
一、 解答题（70分）
17、（本小题满分12分）
已知过点的直线与椭圆交于，两点.
（Ⅰ）若直线的斜率为，求的取值范围；
（Ⅱ）若以为直径的圆经过点，求直线的方程.
18．（12分）（2015秋•常德校级月考）某中学对甲、乙两文班进行数学测试，按照120分及以上为优秀，否则为非优秀统计成绩得下表：
优秀
非优秀
合计
甲
30
20
50
乙
20
30
50
合计
50
50
100
（1）用分层抽样的方法在优秀学生中选取5人，甲班抽多少人？
（2）从上述5人中选2人，求至少有1名乙班学生的概率；
（3）有多大的把握认为“成绩与班级有关”？
D
0.05
0.01
0.005
0.001
k2
3.841
6.635
7.879
10.828
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，平面，是的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，求三棱錐的体积.
20、（1）函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0．求的最小值．
（2）已知且xy=﹣1．求的最小值．
21.（12分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），
曲线，以坐标原点为极点，轴的在半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线与曲线分别交于，两点，求.
22.（10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．
数学（文）答案
一、1-5 CBDBD 6-10 CBCCA 11-12 BC
二、13、3x﹣y﹣2=0． 14、 15、1 16、（1）（2）（4）
三、
17、本小题主要考查直线与圆锥曲线、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，分类与整合思想等，满分12分.
解：（Ⅰ）依题意，直线的方程为，
由，消去得，
令，
解得或，
所以的取值范围是.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则，此时以为直径的圆过点，满足题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，又，
所以.
由（Ⅰ）知，，
所以
.
因为以为直径的圆过点，所以，即，
解得，满足.
故直线的方程为.
综上，所求直线的方程为或.
18、解：（1）优秀学生比例为3：2，∴用分层抽样的方法在优秀学生中选取5人，甲班抽3人；
（2）从上述5人中选2人，有=10种方法，至少有1名乙班学生的概率为1﹣=0.7；
（3）k2==4＞3.841，
∴有95%的把握认为“成绩与班级有关”．
19.本小题主要考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，满分12分.
解法一：（Ⅰ）连结交于点，则为的中点，
∵是的中点，
∴.
又，，
∴.
（Ⅱ）∵，，，
∴，
∴.
取中点，连结，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，且，
又∵平面，平面，
，
∴，
∵，
∴.
解法二：（Ⅰ）取中点，连结，，，
∵，，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又，，
∴.
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又，，
∴.
又，
∴平面.
又平面，
∴平面.
（Ⅱ）∵，
∴，
∴.
∴，
∴.
又∵平面平面，平面平面.
∴.
∵，
∴,
∴.
∵是中点，
∴.
20、解：（1）函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（﹣2，﹣1），
点A在直线mx+ny+1=0上，则，2m+n=1，mn＞0．
=（）（2m+n）=3+，当且仅当n=m，并且2m+n=1时取等号．
表达式的最小值为：3．
（2）解：==，
∵xy=﹣1，∴x2y2=1，
∴s==1+，
∵12x2+3y2≥2=12，
∴s≥1+=，
当且仅当“12x2=3y2”即x=﹣，y=或x=，y=﹣时“=”成立，
表达式的最小值为：
21.选修4-4：坐标系与参数方程
本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，满分10分.
解：（Ⅰ）由得，
所以曲线的普通方程为.
把，，代入，
得，
化简得，曲线的极坐标方程为.
（Ⅱ）依题意可设.
因为曲线的极坐标方程为，
将代入曲线的极坐标方程得，
解得.
同理将代入曲线的极坐标方程得.
所以.
22.解：（Ⅰ）由得，∴，即，
∴，∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，
则，
∴的最小值为4，故实数的取值范围是．