- 1.54 MB
- 2021-06-03 发布
2020年海口市高考调研考试
数 学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，集合，则
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点的距离是
A． B． C． D．
3．设向量，向量是与方向相同的单位向量，则
A． B． C． D．
4．的展开式中的常数项是
A． B． C． D．
5．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的
立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为
图1 图2
A． B． C． D．
6．函数的图象大致是
【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】
A． B． C． D．
7．点，，在球表面上，，，，若球心到截面 的距离为，则该球的表面积为
A． B. C. D.
8．已知数列满足，设，若，称数为“企盼数”，则区间内所有的企盼数的和为
A．2020 B．2026 C．2044 D．2048
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数越小，表明空气质量越好，表1是空气质量指数与空气质量的对应关系，图1是经整理后的某市2019年2月与2020年2月的空气质量指数频率分布直方图
表1
空气质量指数（AQI）
优（AQI）
良（AQI）
轻度污染（AQI）
中度污染（AQI）
重度污染（AQI）
严重污染（AQI>300）
下列叙述正确的是
A．该市2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为0.032
B．该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年2月份的空气质量
C．该市2020年2月份空气质量指数的中位数小于2019年2月份空气质量指数的中位数
D．该市2020年2月份空气质量指数的方差大于2019年2月份空气质量指数的方差
10．设有一组圆：，下列说法正确的是
A．这组圆的半径均为
B．直线平分所有的圆
C．存在无穷多条直线被所有的圆截得的弦长相等
D．存在一个圆与轴和轴均相切
11．如右图，正方体的棱长为，过点作平面
【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】
的垂线，垂足为点．则以下命题正确的是
A．点是△的重心 B．平面
C．延长线经过点 D．直线和所成角为
12．“已知函数，对于上的任意，，若_______，则必有恒成立．”在横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．2020年初，新冠肺炎疫情爆发，全国人民万众一心，共同抗击疫情．武汉市某医院传染科有
甲、乙、丙、丁、戊五位医生，每位医生从周一至周五轮流安排一个夜班．若丁比乙晚两天，丙比甲早一天，戊比丙早两天，则周一值夜班的医生是_________．
14．已知，且，则的值为_________．
15．如图，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲
线右支于点. 设为线段的中点，为坐标原点，则___________，___________．（本题第一空2分，第二空3分）
第15题图 第16题图
16．拥有“千古第一才女”之称的宋代女词人李清照发明了古代非常流行的游戏“打马”，在她的《打马赋》中写道“实博弈之上流，乃闺房之雅戏”．“打马”游戏用每轮抛掷三枚完全相同的骰子决定“马”的行走规则，每一个抛掷结果都有对应走法的名称，如结果由两个2点和一个3点组成，叫做“夹七”，结果由两个2点和一个4点组成，叫做“夹八”．则在某一轮中，能够抛出“夹七”或“夹八”走法的概率是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
从①，②，③.这三个条件中任选两个，分别补充在下面问题的横线中，回答有关问题．设△的角、、所对的边长分别是、、，若_________，_________，且满足，求△其余各边的长度和△的面积．
（注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.）
18．（12分）
【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】
已知数列的首项，且点在函数的图象上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，，证明：．
19．（12分）
如图，四棱锥满足平面，底面是正方形，与交于点，，侧棱上有一点满足．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
20．（12分）
已知椭圆：的其中一个焦点与抛物线的焦点相同，点到
圆：上点的最大距离为7，点，分别是椭圆的左右顶点．
（Ⅰ）求圆和椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，已知位于轴两侧的，分别是椭圆和圆上的动点，且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，，证明：为定值．
【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】
21．（12分）
零部件生产水平，是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一.其中切割加工技术是一项重要技术.某研究机构自主研发了一种切割设备，经过长期生产经验，可以认为设备正常状态下切割的零件尺寸服从正态分布.按照技术标准要求，从该设备切割的一个批次零件中任意抽取10件作为样本，如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值小于0.1（单位：mm），且所有零件尺寸均在范围内，则认定该切割设备的技术标准为A级；如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于0.1小于0.5，且所有零件尺寸均在范围内，则认定该切割设备的技术标准为B级；如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于0.5或存在零件尺寸在范围外，则认定该切割设备的技术标准为C级．
（Ⅰ）设某零件的标准尺寸为100mm，下面是检验员抽取该设备切割的10个零件尺寸：
100.03
100.4
99.92
100.52
99.98
100.35
99.92
100.44
100.66
100.78
经计算，有，其中为抽取的第个样本的尺寸，，用样本的平均数作为的估计值，用样本的标准差作为的估计值，根据数据判断该切割设备的技术标准；
（Ⅱ）生产该种零件的某制造商购买了该切割设备，正常投入生产，公司制定了两种销售方案（假设每种方案对销售量没有影响）：
方案1：每个零件均按70元定价销售；
方案2：若零件的实际尺寸在范围内，则该零件为Ⅰ级零件，每个零
件定价100元，否则为Ⅱ级零件，每个零件定价60元．
哪种销售方案能够给公司带来更多的利润？请说明．
（附：若随机变量～，则，
）
．
22．（12分）
已知函数．
（Ⅰ）当，分析函数的单调性；
（Ⅱ）当时，若函数与的图象有且只有一条公切线，求 的值．
【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】
2020年海口市高考调研考试
数学参考答案
一、单项选择题：1、C 2、C 3、B 4、A 5、B 6、A 7、D 8、B
二、多项选择题：9、BC 10、AB 11、ABC 12、CD
三、填空题：13、乙 14、 15、 4 、 1 16、
四、解答题
17.解析：在△中，已知，
由正弦定理得： …………1分
即 ,
得…………2分
又因为 ，所以， …………3分
得 所以，…………5分
若选条件①②，由余弦定理得：
…………7分
…………8分
所以，…………10分
若选条件①③，由…………6分
又由正弦定理 …………7分
因为
【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】
所以，…………8分
…………9分
…………10分
若选条件②③，由…………6分
又由正弦定理 …………7分
因为
所以，…………8分
…………9分
…………10分
18.解析：
（1）由已知得…………1分
所以，数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列；………… 2分
则=1+…………4分
（2）由（1）知…………5分
【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】
…………9分
所以，…………12分
19.解析：
（1）法一
如图，在平面内，过点作交于点，则有,连，取的中点，连接.
，所以……………………2分
又因为
所以，
所以
又，所以
易知为等边三角形，则,由得为的中点，
在中，为的中点，则有,从而有
因为
所以………………4分
又，所以，
因为
【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】
所以，………………6分
（1） 法二
以为坐标原点，所在直线分别为轴建系如图：
则，由……2分,
………………4分
所以，………………6分
（2）易得平面………………8分
设平面，
由得,即取………………10分
则，所以,锐二面角的余弦值为 ………………12分
20.解析：
（1）由题知抛物线的焦点为，则椭圆中……………………1分
到圆的最大距离为，则，……………2分
则圆的方程为……………3分
由，椭圆方程为：……………4分
（2）由题，设
由…………………………5分
【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】
得：直线，从而
直线，从而………………………7分
得………………………9分
因为在椭圆上，所以，
因为在圆上，所以…………………10分
所以：
…………………12分
21解析：
（Ⅰ）由题意，
，……………1分
，……………3分
所以，，样本的均值与零件标准尺寸差为，并且对每一个数据，均有（），由此判断该切割设备技术标准为B级标准． ……………5分
（Ⅱ）方案1：每个零件售价为元．
方案2：设生产的零件售价为随机变量，则可以取，．由题意，设备正常状态下切割的零件尺寸为，且～．所以
，
【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】
，……………8分
所以随机变量的分布列为
所以的数学期望．…………11分
综上，方案二能够给公司带来更多的利润．……………12分
22． 解析：
（1）由已知：
…………………………………1分
当为奇数时，，
在区间上单调递增。 …………2分
当为偶数时，，
当
所以：在区间上单调递减，在区间上单调递增。…………………………3分
综上所述:当为奇数时,在区间上单调递增;
当为偶数时，在区间上单调递减，在区间上单调递增。……………4分
（2）,
设函数与上各有一点,
则以点为切点的切线方程为:,
以点为切点的切线方程为:，……………………6分
【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】
由两条切线重合，得:
由题知，方程组有唯一解
消去，整理得：…………………8分
令
易知在区间单调递减，在区间上单调递增。
当逼近于0时，逼近于，
有唯一解，则有，即……10分
令
易知在区间单调递减，在区间上单调递增。
又所以只有唯一实根.
当时，函数与的图象有且只有一条公切线……12分
【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】