2012厦门3月份质检理数试卷 13页

厦门市 2012 年高中毕业班质量检查 数 学 试 题（理） 注意事项： 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写 学校、班 级、学号、姓名； 2．本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分，考 试时间 120 分钟。 参考公式： 线性回归方程系数公式： 第 I 卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题所给出的四个答案中有且 只有一个答案是正确的。 1 ． 已 知 集 合 ， 那 么 “ ” 是 “ ” 的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图，已知幂函数 的图象过点 ，则图中阴影部 分的面积等于 （ ） A． B． C． D． 3．已知 ，则 = （ ） A． B． C． D． 4．执行右边的程序框图，输出 S 的值等于 （ ） A．10 B．6 C．3 D．2 1 22 1 ˆ ˆˆ, n i i i n i i x y nxy b a y bx x nx = = − = = = − ∑ ∑ 2{0, }, {1,2}A m B= = 1m = − {1}A B = ay x= (2,4)P 16 5 8 3 4 3 2 3 1tan 4 7 πα + =   tanα 6 5 − 1− 3 4 − 6 5 5．某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 根据上表可得回归方程 中的 为 7，据此模型，若广告费用为 10 元，则预 报销售额等于 （ ） A．42.0 元 B．57.0 元 C．66.5 元 D．73.5 元 6．如图，O 为正方体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 的中心，则下列直线中与 B1O 垂直的是（ ） A．A1D B．AA1 C．A1D1 D．A1C1 7．已知函数 ，则方程 的解是（ ） A． 或 2 B． 或 3 C． 或 4 D． 或 4 8．设 ，若 ，则展开式中系数最大的项 是（ ） A． B． C． D． 9．已知 F 是椭圆 的右焦点，点 P 在椭圆 C 上， 线段 PF 与圆 相切于点 Q，且 ，则椭圆 C 的离心率等于 （ ） A． B． C． D． 10．如图，正五边形 ABCDE 的边长为 2，甲同学在 中用余弦定理解得 ，乙同学在 中解得 ，据此 可得 的值所在区间为 （ ） A．（0.1,0.2） B．（0.2,0.3） C．（0.3,0.4） D．（0.4,0.5） ˆˆ ˆy bx a= + ˆb ( ] 23 , [ 1,2]( ) 3, 2,5 x xf x x x  − ∈ −=  − ∈ ( ) 1f x = 2 2 2 2± 0 1(1 )n n nx a a x a x+ = + + + 1 2 63na a a+ + + = 215x 320x 321x 235x 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 2 3 9 c bx y − + =   2PQ QF=  5 3 2 3 2 2 1 2 ABC∆ 8 8cos108AC = − ° Rt ACH∆ 1 cos72AC = ° cos72° 第 II 卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。 11．已知 ，若 为纯虚数，则 a 的值等于 。 12．已知实数 x，y 满足 ，则 的最小值等于 。 13．已知等差数列 的首项 ，公差 ，其前 n 项和 满足 ，则 k= 。 14．如图 中，AD=2DB， 与 CD 相交于点 P， 若 ，则 = 。 15．记函数 的导数为 的导数为 的 导数为 。若 可进行 n 次求导，则 均可近似表示为： 若取 n=4，根据这个结论，则可近似估计自然对数的底数 （用分数表示） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分 13 分） 从装有大小相同的 3 个白球和 3 个红球的袋中做摸球实验，每次摸出一个球，如果摸出 白球，则从袋外另取一个红球替换该白球放入袋中，继续做下一次摸球实验；如果摸出 红球，则结束摸球试验。 （1）求一次摸球后结束试验的概率 P1 和两次摸球后结束试验的概率 P2； （2）记结束试验时的摸球次数为 ，求 的分布列及数学期望 Rα ∈ 1 1 ai i + − 0 2 6 0 x y x x y >  ≥  + − ≤ 2y x + { }na 1 1a = 2d = nS 2 24k kS S+ − = ABC∆ 1 ,2AE EC BE= ( , )AP xAB yAC x y R= + ∈   x y+ ( )f x (1) (1)( ), ( )f x f x (2) ( 1)( ), , ( )nf x f x−  ( ) *( )( )nf x n N∈ ( )f x ( )f x (1) (2) (3) ( ) 2 3(0) (0) (0) (0)( ) (0) 1! 2! 3! ! n nf f f ff x f x x x xn ≈ + + + + + e ≈ ξ ξ .Eξ 17．（本小题满分 13 分） 如图，A 为双曲线 的右顶点，平面上的动点 P 到点 A 的距离与到直线 的距离相等。 （1）求动点 P 的轨迹 N 的方程； （2）已知双曲线 M 的两条渐近线分别与轨迹 N 交于点 B，C（异于原点）。试问双曲线 M 上是否存在一点 D，满足 若存在，求出点 D 坐标；若不存在，请说明 理由。 18．（本小题满分 13 分） 如图，从山脚下 P 处经过山腰 N 到山顶 M 拉一条电缆，其中 PN 的长为 a 米，NM 的边长 为 2a 米，在 P 处测得 M，N 的仰角为 ，在 N 处测得 M 的仰角为 （1）求此山的高度； （2）试求平面 PMN 与水平面所成角的余弦值。 19．（本小题满分 13 分） 设函数 ，试分别解答下列两小题。 （1）若函数 的图象与直线 （n 为常数）相邻两个交点的横坐标为 ， ，求函数 的解析式，并写出函数 的单调递增区间； （2）当 时，在 中，满足 ，且 BC=1，若 E 为 BC 中点，试求 AE 的最大值。 2 2: 1M x y− = : 1l x = − 2 .DB DC DA⋅ =   45 ,30° ° 30 .° ( ) sin 3cos ( )f x m x x m R= + ∈ ( )f x y n= 1 12x π= 2 7 12x π= ( )f x ( )f x 3m = ABC∆ ( ) 2 3f A = 20．（本小题满分 14 分） 已知函数 （I）若 的最大值为 0，求 k 的值； （II）已知数列 （i）求证： ； （ii）是否存在 ，若不存在，请给予证明；若存在，请求 出 n。 21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分， 如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应 的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （1）（本小题满分 7 分）选修 4—2：矩阵与变换 已知矩阵 （I）求矩阵 MN； （II）若点 P（0，1）在矩阵 MN 对应的线性变换作用下得到点 P′，求 P′的坐标。 （2）（本小题满分 7 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程是 ，在极坐标系（与直 角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的极坐标方程是 （I）求圆 C 的直角坐标方程； （II）求圆心 C 到直线 l 的距离。 （3）（本小题满分 7 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 （I）解不等式式 ； （II）求函数 的最小值。 ( ) ln(1 ) ( )f x x kx k R= + − ∈ ( )f x * 1 1 1{ } 1, ln(1 ) ( )2n n n na a a a a n N+= = + − ∈满足 1 2 3 2na a a a+ + + + < * , (0,1]nn N a∈ ∉使得 0 1 0 1,1 0 1 0M N −   = =       ( )2 1 x t ty t =  = + 为参数 2cosρ θ= ( ) | 1|f x x= − ( ) 2f x > ( ) ( 5)y f x f x= − + +