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- 2021-06-03 发布
专题二 “构造函数”，巧求参数范围
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数
的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——
零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数
的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中求参数范围问
题，构造函数，例题说法，高效训练.
【典型例题】
第一招 参变分离，构造函数
例 1.【2019 届高三第一次全国大联考】若函数 恰有三个零点，则 的取值范围为( )
A． B．（ ） C． D．（ ）
【答案】D
【解析】
当 时， 为减函数，令 易得 ，所以只需 有两个零
点，令 则问题可转化为函数 的图象与 的图象有两个交点.求导可得
，令 ，即 ，可解得 ；令 ，即 ，可解得 ，
所以当 时，函数 单调递减；当 时，函数 单调递增，由此可知当 时，函数 取得
最小值，即 ．在同一坐标系中作出函数 与 的简图如图所示，
根据图可得 故选 D.
第二招 根据方程做差，构造函数
例 2.【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019 届高三第一次模拟】已知
函数 （ 为自然对数的底数）， .
（1）当 时，求函数 的极小值；
（2）若当 时，关于 的方程 有且只有一个实数解，求 的取值范围.
【答案】（1）0（2）
【解析】
（1）当 时， ， ，
令 则 列表如下：
1
单调递减 极小值 单调递增
所以 .
（2）设 ，
，
设 ， ，
由 得， ， ， 在 单调递增，
即 在 单调递增， ，
①当 ，即 时， 时， ， 在 单调递增,
又 ，故当 时，关于 的方程 有且只有一个实数解，符合题意.
②当 ，即 时，由（1）可知 ，
所以 ，又
故 ，当 时， ， 单调递减，又 ，
故当 时， ，
在 内，关于 的方程 有一个实数解 1.
又 时， ， 单调递增，
且 ，令 ，
, ,故 在 单调递增，又
在 单调递增，故 ，故 ，
又 ，由零点存在定理可知， ，
故在 内，关于 的方程 有一个实数解 .
又在 内，关于 的方程 有一个实数解 1，不合题意.
综上， .
第三招 求导转化，构造函数
例 3.【山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟】已知函数 .
（1）设 ，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在其定义域内有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为 ，无单调递减区间.（2）
【解析】
（1）
函数 的定义域为 ，
令 ，则
令 ，得 ；令 ，得
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
所以
所以 对任意 恒成立，
所以 的单调递增区间为 ，无单调递减区间.
（2）（法一）： 的定义域为 ，
所以“函数 在其定义域内有两个零点”等价于“方程 在区间 内有两个不同的实数根”
即方程 在区间 内有两个不同的实数根
故上述问题可以转化为函数 与函数 的图像在 上有两个不同的交点，如图
若令过原点且与函数 图像相切的直线斜率为 ，由图可得
令切点
由 ，得 ，所以
又 ，所以 ，解得：
于是 ，所以
故实数 的取值范围是
（法二） 的定义域为 ，
，
当 时， ，
所以 在 单调递增，所以 在 不会有两个零点，不合题意，
当 时，令 ，得 ，
在 上， ， 在 上单调递增，
在 上， ， 在 上单调递减，
所以 ，
又 时， ，
时， ，
要使 有两个零点，则有
即
所以
所以 ，即实数 的取值范围为 .
第四招 换元转化，构造函数
例 4．【四川省高中 2019 届高三二诊】已知 ．
求 的极值；
若 有两个不同解，求实数 的取值范围．
【答案】（1）有极小值，为 ；无极大值；（2）
【解析】
的定义域是 ，
，
令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
故 在 递减，在 递增，
故 时， ；
记 ， ，则 ，
故 可转化成 ，即： ，
令 ， ，
令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
故 在 递增，在 递减，
且 时， ， 时，
故 ，
由 ， ， 的性质有：
， 和 有两个不同交点 ， ，且 ，
， 各有一解，即 有 2 个不同解，
， 和 仅有 1 个交点 ，且 ，
有 2 个不同的解，即 有两个不同解，
取其它值时， 最多 1 个解，
综上， 的范围是
【规律与方法】
构造函数的几种常用的构造技巧：
1.通过作差构造函数：作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论．当然，适合用这个方法
解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负．
2.利用“换元法”构造函数，换元的目的是简化函数的形式．
3.先分离参数再构造函数，将方程变形为 m=h(x)，构造函数 h(x)，研究 h(x)的性质来确定实数 m 的取值范
围．
4.根据导函数的结构，构造函数.
【提升训练】
1．【福建省 2019 届备考关键问题指导适应性练习（四)】已知函数 ， ，若关于 的方程
在区间 内有两个实数解，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
易知当 ≤0 时，方程只有一个解，
所以 >0．令 ，
，
令 得 ，
为函数的极小值点，
又关于 的方程 = 在区间 内有两个实数解，
所以 ，解得 ，
故选 A.
2．【河北省唐山市 2019 届高三下学期第一次模拟】设函数 ， 有且仅有一个零点，
则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵函数 ，有且只有一个零点，
∴方程 ， ，有且只有一个实数根，
令 g（x）= ，
则 g′（x）= ，当 时，g′（x） 0，当 时，g′（x） 0，
∴g（x）在 上单调递增，在 上单调递减，当 x= 时，g（x）取得极大值 g（ ）= ，
又 g（0）= g（ ）=0，∴若方程 ， ，有且只有一个实数根，则 a=
故选 B.
3. 【山东省济宁市 2019 届高三第一次模拟】已知当 时，关于 的方程 有
唯一实数解，则 所在的区间是( )
A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6．7)
【答案】C
【解析】
由 xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得 ，
令 f（x） （x＞1），则 f′（x） ．
令 g（x）＝x﹣lnx﹣4，则 g′（x）＝1 0，
∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，
∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，
∴存在唯一 x0∈（5，6），使得 g（x0）＝0，
∴当 x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当 x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．
则 f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．
∴f（x）min＝f（x0） ．
∵ ﹣4＝0，∴ ，
则 ∈（5，6）．
∴a 所在的区间是（5，6）．
故选：C
4．【天津市和平区 2019 届高三下学期第一次调查】已知函数 ， 若
关于 的方程 恰有三个不相等的实数解,则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
关于 的方程 恰有三个不相等的实数解，
即方程 恰有三个不相等的实数解，
即 与 有三个不同的交点.
令 ，
当 时， ，函数单调递减；
当 时， ，函数单调递增；
且当 时， ，
当 时， ， ，
当 时， ，
据此绘制函数 的图像如图所示，
结合函数图像可知，满足题意时 的取值范围是 .
本题选择 C 选项.
5．【安徽省合肥市 2019 届高三第二次检测】设函数 ，若函数 有三个
零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
设 ，
则 ，
在 上递减，在 上递增，
，且 时， ，
有三个零点等价于 与 的图象有三个交点，
画出 的图象，如图，
由图可得， 时， 与 的图象有三个交点，
此时，函数 有三个零点，
实数 的取值范围是 ，故选 D.
6.【江西省南昌市 2019 届高三第一次模拟】已知函数 （ 为自然对数的底数），
，直线 是曲线 在 处的切线.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）是否存在 ，使得 在 上有唯一零点？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）存在 k=0 或 2.
【解析】
（Ⅰ） ，
由已知，有 ，即 ，解得 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，则
令 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递减，又因为 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，且当 时， ，即 ，
当 时， ，即 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
又因为当 时， ， ， ， ，
所以存在 或 ，使得 在 上有唯一零点.
7．【山东省青岛市 2019 届高三 3 月一模】已知函数 ， ， 为自然对
数的底数.
（1）当 时，证明：函数 只有一个零点；
（2）若函数 存在两个不同的极值点 ， ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2） .
【解析】
（1）由题知： ，
令 ， ，
当 ， ，所以 在 上单调递减.
因为 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，故 只有一个零点.
（2）由（1）知： 不合题意，
当 时，因为 ， ； ， ；
又因为 ，所以 ；
又因为 ，
因为函数 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以存在 ，满足 ，
所以 ， ； ， ； ， ；
此时 存在两个极值点 ，0，符合题意.
当 时，因为 ， ； ， ；所以 ；
所以 ，即 在 上单调递减，
所以 无极值点，不合题意.
综上可得： .
8.【陕西省咸阳市 2019 年高考模拟检测（二)】已知函数 .
（1）当 ，求证 ；
（2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
（1）证明：当 时， ，
得 ，
知 在 递减，在 递增，
，
综上知，当 时， .
（2）法 1：， ，即 ，
令 ，则 ，
知 在 递增，在 递减，注意到 ，
当 时， ；当 时， ，
且 ，
由函数 有 个零点，
即直线 与函数 图像有两个交点，得 .
法 2：由 得， ，
当 时， ，知 在 上递减，不满足题意；
当 时， ，知 在 递减，在 递增.
，
的零点个数为 ，即 ，
综上，若函数有两个零点，则 .
9．【湖南省怀化市 2019 届高三 3 月第一次模拟】设函数 .
（1）若 是 的极大值点，求 的取值范围；
（2）当 ， 时，方程 （其中 ）有唯一实数解，求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）由题意，函数 的定义域为 ，则导数为
由 ，得 ，∴
①若 ，由 ，得 .
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减.
所以 是 的极大值点
②若 ，由 ，得 ，或 .
因为 是 的极大值点，所以 ，解得
综合①②： 的取值范围是
（2）因为方程 有唯一实数解，所以 有唯一实数解
设 ，则 ，
令 ，即 .
因为 ， ，所以 （舍去），
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 单调递增
当 时， ， 取最小值
则 ，即 ，
所以 ，因为 ，所以 （*）
设函数 ，
因为当 时， 是增函数，所以 至多有一解
因为 ，所以方程（*）的解为 ，即 ，解得
10．【普通高中 2019 届高三质量监测（二)】已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若方程 有两个实数根，求实数 的取值范围.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
（1）由题可得 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， ， 在 上单调递增；
， ， 在 上单调递减.
（2）令 ， ，易知 单调递增且一定有大于 0 的零点，不妨设
为 ， ，即 ， ，
故若有 有两个零点，需满足 ，
即 ，
令 ， ，所以 在 上单调递减.
，所以 的解集为 ，
由 ，所以 .
当 时， ，
有 ，
令 ，
由于 ，所以 ， ，
故 ，所以 ，
故 ， 在 上有唯一零点，另一方面，在 上，
当 时，由 增长速度大，所以有 ，
综上， .
11．【广东省汕头市 2019 年普通高考第一次模拟】已知 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在 3 个零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）
因为 ，由 ，得 或 ．（i）当 时， ，
在 和 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减，
（ii）当 时， ，在 上， ， 单调递增，
（iii）当 时， ，
在 和 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减，
（2） ，
所以 有一个零点 ．要使得 有 3 个零点，即方程 有 2 个实数根，
又方程 ，令 ，即函数 与
图像有两个交点，
令 ，得
的单调性如表：
1
－ － 0 ＋ ＋
↘ ↘ 极小值 ↗ ↗
当 时， ，又 ， 的大致图像如图，
所以，要使得 有 3 个零点，则实数 的取值范围为
12．【山东省淄博市 2019 届高三 3 月模拟】已知函数 .
（1）若 是 的极大值点，求 的值；
（2）若 在 上只有一个零点，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
(1) ，
因为 是 的极大值点，所以 ，解得 ，
当 时， ， ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ；当 时， ，
故 是 的极大值点；
(2)令 ， ，
在 上只有一个零点即 在 上只有一个零点,
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以
.
（Ⅰ）当 ，即 时， 时， 在 上只有一个零点，即 在 上只
有一个零点.
（Ⅱ）当 ，即 时，取 ，
，
①若 ，即 时， 在 和 上各有一个零点，即 在 上有 2 个零点，
不符合题意；
②当 即 时， 只有在 上有一个零点，即 在 上只有一个零点，
综上得，当 时， 在 上只有一个零
点.