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- 2021-06-03 发布
湖南省娄底市娄星区2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题）
1. 不等式x2+2x-3≥0的解集是（ ）
A. B.
C. D. 或
2. 设M=3x2-x+1，N=2x2+x，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知等差数列{an}中，a2+a4=6，则前5项和S5为（ ）
A. 5 B. 6 C. 15 D. 30
4. 若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
5. 已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）
A. 3 B. 15 C. 48 D. 63
6. 已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为（ ）
A. 且 B. 且
C. D.
7. 在△ABC中，a=5，b=7，c=6，则△ABC的形状是（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
8. 已知中，，，则数列的通项公式是( )
A. B. C. D.
9. 当x＞3时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知等差数列{an}的前n项和为，满足S5=S9，且a1＞0，则Sn中最大的是（ ）
A. B. C. D.
11. 设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12. 不等式x2＜|x-1|+a的解集是区间（-3，3）的子集，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题）
13. 在等比数列{an}中，已知a2a4a6=8，则a3a5=______
14. 已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=，b=sinB，则a= ______ ．
15. 若关于x的不等式ax2-6x+a2＜0的解集是（1，m），则m=______．
16. 已知数列{an}满足an=logn+1（n+2）（n∈N*）定义使a1•a2•…•ak为整数的数k叫做企盼数，则区间[1，2019]内所有的企盼数的和是______．
三、解答题（本大题共6小题）
17. 已知椭圆C中心在原点，焦点为F1（-2），F2（2），且离心率e=．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，求△ABF2的周长．
1. 已知等差数列{an}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n-2．
2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（1）求C；
（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
3. 某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？
4. 在数列{an}中，a1=2，a2=4，且当n≥2时，an2=an-1an+1，n∈N•；
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若bn=（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Sn．
1.
已知函数f（x）=|x+1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由x2+2x-3≥0可得（x+3）（x-1）≥0，
解可得，x≥1或x≤-3，
故不等式的解集为{x|x≥1或x≤-3}．
故选：D．
结合二次函数的图象即可求解二次不等式的解集．
本题主要考查了二次不等式的求解，属于基础试题．
2.【答案】A
【解析】解：M-N=3x2-x+1-2x2-x=x2-2x+1=（x-1）2≥0．
∴M≥N．
故选：A．
作差配方即可得出大小关系．
本题考查了数的大小比较方法、作差法、配方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：在等差数列{an}中，由a2+a4=6，得2a3=6，a3=3．
∴前5项和S5=5a3=5×3=15．
故选：C．
由已知结合等差数列的性质求得a3，再由等差数列的前n项和公式得答案．
本题考查了等差数列的性质，关键是对性质的应用，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：A．c=0时不成立；
B．∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，正确；
C．取a=-1，b=-2时，=-1，=-，则＞不成立；
D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．
故选：B．
A．c=0时不成立；
B．利用不等式的基本性质由a＜b＜0，可得a2＞ab＞b2；
C．取a=-1，b=-2时，即可判断出；
D．由a＞b＞0，可得＜．
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查等比数列的通项公式，根据条件建立方程关系或者利用等比数列的通项公式是解决本题的关键，属基础题.
根据等比数列的通项公式行求解即可．
【解答】
解：∵a1+a2=3，a3+a4=12，
∴（a1+a2）q2=a3+a4，
即q2=4
，
则a5+a6=（a3+a4）q2=12×4=48，
故选C．
6.【答案】B
【解析】【分析】
利用椭圆的简单性质列出不等式组，求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
【解答】
解：方程+=1表示椭圆，只需满足：，解得-3＜k＜2且k≠-．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】解：∵a=5，b=7，c=6，
∴b为最大边，即B为最大角，
∴由余弦定理得：cosB===＞0，
又B为三角形的内角，
∴B为锐角，
则△ABC的形状是锐角三角形．
故选：A．
根据a，b及c的长度，判断得到b为最大边，根据大边对大角可得B为最大值，利用余弦定理表示出cosB，把三边长代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，根据cosB的值大于0，可得出B为锐角，进而确定出三角形为锐角三角形．
此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：三角形的边角关系，余弦定理，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数列递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力，属于基础题．
利用数列的递推关系式，通过累积法，求解数列的通项公式．
【解答】
解：由nan+1=（n+1）an，可得：，
又∵a1=1，
∴
==n．
∴an=n，
故选C．
9.【答案】D
【解析】解：解：∵x＞3
∴x-1＞2，
∴y=（x-1）++1，
设t=x-1，t＞2
y=t++1，在t∈（2，+∞）上单调递增，
∴y＞2=，
∵不等式x+≥a恒成立，
∴，
a的取值范围是（-∞，]
，
故选：D．
根据x＞3，得到x-1＞2，利用基本不等式可得y=（x-1）++1，换元函数得出y=t++1，t∈（2，+∞），利用对勾函数的单调性求解最小值，解决恒成立即可．
本题以分式不等式为例，考查了函数恒成立的知识，属于中档题．注意利用对勾函数的单调性求解最小值，解决恒成立即可，不符合基本不等的条件．
10.【答案】B
【解析】解：依题意，由S5=S9，a1＞0，
所以数列{an}为递减数列，
且S9-S5=a6+a7+a8+a9=2（a7+a8）=0，即a7+a8=0，
所以a7＞0，a8＜0，
所以则Sn中最大的是S7，
故选：B．
依题意数列{an}为递减数列，再结合S9-S5=0，推出a7，a8的符号，即可得到结论．
本题考查了数列的单调性，数列的前n项和，注意考查推理能力和计算能力，属于基础题．
11.【答案】C
【解析】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|=|F2F1|
∵P为直线x=上一点
∴
∴
故选：C．
利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．
12.【答案】A
【解析】【分析】
将不等式转化为函数，利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论．本题主要考查不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，转化为函数是解决本题的关键，属于基础题．
【解答】
解：等式x2＜|x-1|+a等价为x2-|x-1|-a＜0，
设f（x）=x2-|x-1|-a，若不等式x2＜|x-1|+a的解集是区间（-3，3）的子集，
则 ，解得a ≤5，
故选A．
13.【答案】4
【解析】解：根据题意，在等比数列{an}中，
已知a2a4a6=8，则（a4）3=8，则a4=2，
则a3a5=（a4）2=4；
故答案为：4．
根据题意，由等比数列的性质可得（a4）3=8，则a4=2，又由a3a5=（a4）2
，即可得答案．
本题考查等比数列的性质，关键是掌握等比中项的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
由已知利用正弦定理即可计算得解．
【解答】
解：∵sinA=，b=sinB，
∴由正弦定理可得：a===．
故答案为．
15.【答案】2
【解析】解：∵ax2-6x+a2＜0的解集是（ 1，m），
∴a＞0，
1，m是相应方程ax2-6x+a2=0的两根，
解得m =2；
故答案为：2．
由二次不等式的解集形式，判断出 1，m是相应方程的两个根，利用韦达定理求出m的值．
本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a的值，是解答本题的关键．
16.【答案】2026
【解析】解：∵an=logn+1（n+2）=（n∈N*），
∴a1•a2•a3•…•ak=•••…•=log2（k+2），
又a1•a2•a3•…•ak为整数，
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n-2，
又k∈[1，2019]，∴1≤2n-2≤2019，∴取2≤n≤10，
∴区间[1，2019]内所有的企盼数的和为：
M=（22-2）+（23-2）+（24-2）+…+（210-2）
=（22+23+…+210）-2×9=-18=2026．
故选：B．
用换底公式与叠乘法把a1•a2•a3•…•ak化为log2（k+2），再根据a1•a2•a3•…•ak为整数，得k=2n-2，由区间[1，2019]确定n的取值，求出所有的企盼数的和．
本题考查了新定义下的数列求和、换底公式以及叠乘法等知识，考查运算能力，属于基础题．
17.【答案】解析：（1）因为，，，
所以，
得到b2=a2-c2=1 又椭圆的焦点在x轴上，
所以求椭圆的标准方程为．
（2）因为F1的直线l交椭圆于A，B两点；
根据椭圆的定义得△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=12，
故△ABF2的周长为 12．
【解析】（1）由条件有a=3，c=2，求出b即可；
（2）|AB|=|AF1|+|F1B|，然后用椭圆的定义可得三角形的周长为4a=12．
本题考查椭圆的基本的几何性质，椭圆的定义，属于基础题．
18.【答案】解：（I）设等差数列{an}的公差为d≠0，
由题意a1，a11，a13成等比数列，∴，
∴，化为d（2a1+25d）=0，
∵d≠0，∴2×25+25d=0，解得d=-2．
∴an=25+（n-1）×（-2）=-2n+27．
（II）由（I）可得a3n-2=-2（3n-2）+27=-6n+31，可知此数列是以25为首项，-6为公差的等差数列．
∴Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2=
=
=-3n2+28n．
【解析】（I）设等差数列{an}的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得，，再利用等差数列的通项公式可得，化为d（2a1+25d）=0，解出d即可得到通项公式an；
（II）由（I）可得a3n-2=-2（3n-2）+27=-6n+31，可知此数列是以25为首项，-6为公差的等差数列．利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+…+a3n-2．
熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键．
19.【答案】解：（1）由已知2cosC（acosB+bcosA）=c，
正弦定理得：2cosC（sinAcosB+cosAsinB）=sinC，
即2cosC•sinC=sinC，
∵0＜C＜π，sinC≠0，
∴cosC=，
∴C=．
（2）由c=，C=，△ABC的面积为=absin=，
∴ab=6，
又由余弦定理c2=b2+a2-2abcosC，可得：7=b2+a2-ab=（a+b）2-3ab=（a+b）2-18，
可得：（a+b）2=25，解得：a+b=5，
∴△ABC的周长a+b+c=5+．
【解析】（1）利用正弦定理和和与差公式化简已知等式可得2cosC•sinC=sinC，由0＜C＜π，sinC≠0，可求cosC=，进而可求C的值．
（2）根据ABC的面积公式可求ab=6，根据余弦定理可求a+b的值，即可求得周长．
本题考查了正余弦定理的运用和计算能力，属于基础题，解题时要注意余弦定理的合理运用．
20.【答案】解：如图所示，设长方体的长宽分别为x，y，
则3xy=4800，可得y=．
水池总造价f（x）=xy×150+2（3x+3y）×120=（x+）×720+1600×150≥2×720+240000
=57600+240000=297600元．当且仅当x=40m，y=40m时取等号．
∴设计水池底面为边长为20m的正方形能使总造价最低，最低造价是297600元．
【解析】如图所示，设长方体的长宽分别为x，y，则3xy=4800，可得y=．水池总造价f（x）=xy×150+2（3x+3y）×120=（x+）×720+1600×150，利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了基本不等式的性质、长方体的体积与表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
本题考查了基本不等式的性质、长方体的体积与表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）∵当n≥2时，an2=an-1an+1，
∴数列{an}
是等比数列，
又∵a1=2，a2=4，
∴公比a==2，
∴数列{an}是首项、公比均为2的等比数列，
∴其通项公式an=2n；
（2）由（1）可知bn=（2n-1）an=（2n-1）2n，
则Sn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）×2n，
2Sn=1×22+3×23+…+（2n-3）×2n+（2n-1）×2n+1，
两式相减，得：-Sn=2+2×22+2×23+…+2×2n-（2n-1）×2n+1
=2+2×-（2n-1）×2n+1
=-6-（2n-3）×2n+1，
∴Sn=6+（2n-3）×2n+1．
【解析】（1）通过题意可知数列{an}是等比数列，进而可求出公比，代入公式即得结论；
（2）通过（1）可知bn=（2n-1）2n，进而利用错位相减法计算即得结论．
本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)∵f（x）=|x+1|-|x-2|
=，
f（x）≥1，
∴当-1≤x≤2时，2x-1≥1，
解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，
故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
(Ⅱ)原式等价于存在x∈R使得f（x）-x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）-x2+x]max，
设g（x）=f（x）-x2+x．
由(Ⅰ)知，g（x）=，
当x<-1时，g（x）=-x2+x-3，
其开口向下，对称轴方程为x=＞-1，
∴g（x）2时，g（x）=-x2+x+3，
其开口向下，对称轴方程为x=＜2，
∴g（x）2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．