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- 2021-06-03 发布
微专题 97 不等式选讲
一、基础知识：
（一）不等式的形式与常见不等式：
1、不等式的基本性质：
（1）
（2） （不等式的传递性）
注： ， 等号成立当且仅当前两个等号同时成立
（3）
（4）
（5）
（6）
2、绝对值不等式：
（1） 等号成立条件当且仅当
（2） 等号成立条件当且仅当
（3） ：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且
仅当
3、均值不等式
（1）涉及的几个平均数：
① 调和平均数：
② 几何平均数：
③ 代数平均数：
④ 平方平均数：
（2）均值不等式： ，等号成立的条件均为：
a b b a
,a b b c a c
,a b b c a c a c
a b a c b c
, 0 ; , 0a b c ac bc a b c ac bc
0 2,n na b a b n n N
0 2,n na b a b n n N
a b a b a b
a b a b 0ab
a b a b 0ab
a b b c a c
0a b b c
1 2
1 1 1n
n
nH
a a a
1 2
n
n nG a a a
1 2 n
n
a a aA n
2 2 2
1 2 n
n
a a aQ n
n n n nH G A Q 1 2 na a a
（3）三项均值不等式：
①
②
③
4、柯西不等式：
等号成立条件当且仅当 或
（1）二元柯西不等式： ，等号成立当且仅当
（2）柯西不等式的几个常用变形
① 柯西不等式的三角公式：
②
②式体现的是当各项 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，
刚好是均值不等式的一个补充。
③
5、排序不等式：设 为两组实数， 是
的任一排列，则有：
即“反序和 乱序和 顺序和”
（二）不等式选讲的考察内容：
1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立
33a b c abc 2 2 2 3a b c abc
3
3
a b cabc
2 2 2
3 3
a b ca b c
22 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2n n n na a a b b b a b a b a b
1 2
1 2
n
n
a a a
b b b 1 2 0nb b b
22 2 2 2a b c d ac bd ad bc
2 2 22 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2n n n na a a b b b a b a b a b
22 2 2
1 21 2
1 2 1 2
nn
n n
a a aa a a
b b b b b b
2 2 2
21 2
1 2 1 2
1 2
n
n n
n
a a a b b b a a ab b b
2 2 2
1 2, , , na a a
2
1 21 2
1 2 1 1 2 2
nn
n n n
a a aa a a
b b b a b a b a b
1 2 1 2,n na a a b b b 1 2, , , nc c c 1 2, , , nb b b
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2n n n n n n na b a b a b a c a c a c a b a b a b
2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利
用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩（消元）→验证
等号成立条件”
3、解不等式（特别是含绝对值的不等式——可参见“不等式的解法”一节）
二、典型例题：
例 1：若不等式 恒成立，则 的取值范围为________．
思路：本题为恒成立问题，可知 ，所以只需求出
的最小值即可，一种思路可以构造函数 ，通过对绝对值里的符号进行
分类讨论得到分段函数： ，进而得到 ，另一种思路
可以想到绝对值不等式： ，进而直接得到最小值，所
以 ，从而
答案：
例 2：若存在实数 使得 成立，求实数 的取值范围
思路：本题可从方程有根出发，得到关于 的不等式，从而解出 的范围
解：依题意可知二次方程 有解
即
当 时，
当 时， 恒成立
当 时，
综上所述，可得
1 3 1x x m m
min1 1 3m x x 1 3x x
1 3f x x x
2 4, 1
2 , 3 1
2 4, 3
x x
f x x
x x
min 2f x
1 3 1 3 2x x x x
1 2m 1 3m
1 3m
x 2 4 2 1 0x x a a a
a a
2 4 2 1 0x x a a
16 4 2 1 0a a
2 1 4a a
2a 72 3 4 2a a 72, 2a
1 2a 2 1 4 1 4a a 1,2a
1a 12 1 4 2a a a 1 ,12a
1 7,2 2a
例 3：已知函数
（1）当 时，解不等式
（2）若不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围
（1）思路：所解不等式为 ，可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式
解：（1）当 时，
当 时，
当 时，
综上所述：不等式的解集为
（2）思路：若不等式 恒成立，可知只需 即可， 含绝对值，从而
可通过分类讨论将其变为分段函数 ，通过分析函数性质即可得
到 ，所以
解： 恒成立
考虑
在 单调递减，在 单调递增
例 4：已知 都是正数,且 ,求 的最大值
思路一：已知 为常数，从所求入手，发现被开方数的和为 也为
常数，所以想到均值不等式中“代数平均数 平方平均数”，进而求得最大值
2 0f x x x a a
1a 4f x
4f x x R a
2 1 4x x
1x 2 1 4 2x x x 1,2x
0 1x 2 1 4 2x x x 0,1x
0x 22 1 4 3x x x 2 ,03x
2 ,23
4f x min 4f x f x
3 2 , ,
2 , 0,
2 3 , ,0
x a x a
f x a x x a
a x x
minf x f a a 4a
4f x
min 4f x
3 2 , ,
2 2 , 0,
2 3 , ,0
x a x a
f x x x a a x x a
a x x
f x ,a ,a
minf x f a a
4a
, ,a b c 2 3 6a b c 1 2 1 3 1a b c
2 3a b c 2 3 3a b c
解：
等号成立当且仅当
思 路 二 ： 由 所 求 可 联 想 到 柯 西 不 等 式 （ 活 用 1 ） ：
， 从 而 可 得 ：
即 ， 所 以 可 知
小炼有话说：本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同（分别为均值不等式和柯西不等
式），但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数 平方平均数”。证明的过程如下：
例 5：已知 是实数，且 ，则 的最大值是__________
思 路 ： 考 虑 将 向 进 行 靠 拢 ， 由 柯 西 不 等 式 可 知
2 2 2
1 2 1 3 11 2 1 3 1
3 3
a b ca b c
1 2 1 3 1
3
a b c
2 3 31 2 1 3 1 3 3 33
a b ca b c
21 2 1 3 1 12 3 6 2
3
aa b c ba b c
c
2 2
1 2 1 3 1 = 1 1 1 2 1 1 3 1a b c a b c
2 2 2 22 2 21 1 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 2 1 3 1a b c a b c
2
1 1 1 2 1 1 3 1 3 2 3 3 27a b c a b c
1 2 1 3 1 3 3a b c
22 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1
1 1 1 1 1 1n n
n
a a a a a a
个
2 2 2 2
1 2 1 2n na a a n a a a
2 2 2
1 2 1 2n na a a n a a a
2 2 2
1 2
1 2
n
n
a a aa a a n n
2 2 2
1 2 1 2n na a a a a a
n n
, ,a b c 2 2 2 1a b c 2 2a b c
2 2a b c 2 2 2a b c
，对照条件可知令 即可，所
以 ，则
答案：
小炼有话说：使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等
式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。
例 6：已知实数 满足 ，则 的取值范围是
____________
思路：本题的核心元素为 ，若要求 的取值范围，则需要寻找两个等式中项的不等关系，即
关于 的不等关系，考虑到 ，联想到柯西不等
式 ， 则 有
，代入可得： 解得： ，
验证等号成立条件： 在 时均有解。
答案：
例 7：已知 均为正数，求证： ，并确定 为何
值时，等号成立
思路：观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系，右侧为常数，所以可想到基本不等式中
互 为 倒 数 时 ， ， 右 侧 为 一 个 常 数 。
，从而将左侧的项均转化为与 相关的项，然后再利用基本不等式即
可得到最小值 ，即不等式得证
解：由均值不等式可得：
2 2 2 2 2 2 2ax by cz a b c x y z 2, 1, 2x b z
2 2 2 2 2 2 22 2 2 1 2 9a b c a b c 2 2 3a b c
3
, , ,a b c d 2 2 2 23, 2 3 6 5a b c d a b c d a
a a
, ,b c d 2 2 2 23 ,2 3 6 5b c d a b c d a
2 2 2
21 2
1 2 1 2
1 2
n
n n
n
a a a b b b a a ab b b
22 2 2 1 1 12 3 6 2 3 5b c d b c d
225 3a a 1,2a
2 3 6
1 1 1
2 3 6
b c d 1, 2a a
1,2a
, ,a b c
2
2 2 2 1 1 1 6 3a b c a b c
, ,a b c
,a b
2a b ab 32 2 2 2 2 23 ,a b c a b c
31 1 1 19a b c abc abc
6 3
32 2 2 2 2 23a b c a b c
等号成立条件：
例 8：已知
（1）若 ，求 的最小值
（2）求证：
（1）思路：从所求出发可发现其分母若作和，则可与 找到联系，从而想到柯西不等
式的变式： ，从而
解：
由柯西不等式可得：
（2）所证不等式等价于： ，观察左右的项可发现对左边任意
两项使用均值不等式，即可得到右边的某项，即： ，三式相加即完成证
明
证明：由均值不等式可得：
三式相加：
即
31 1 1 13a b c abc
2
3 2
1 1 1 19a b c abc
2
32 2 2 2 2 2
3 2
1 1 1 13 9a b c a b ca b c abc
3 2 2 2
3 2
12 3 9 6 3a b c
abc
a b c
0, 0a b
2a b 1 4
1 1a b
2 2 2 2 1a b a b ab a b
2a b
22 2 2
1 21 2
1 2 1 2
nn
n n
a a aa a a
b b b b b b
21 21 4 31 1 1a b a b
2 21 4 1 2
1 1 1 1a b a b
22 2 1 21 4 1 2
1 1 1 1 1a b a b a b
2a b
1 4 31 1a b
2 2 2 2 2 2a b a b a b ab ab
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
2
a b a a b
a b b ab
a b ab
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
2
a b a a b
a b b ab
a b ab
2 2 2 2 2 22 2a b a b a b ab ab
2 2 2 2 2 2 1a b a b a b ab ab ab a b
小炼有话说：对于求倒数和（即 为常数）的最值，有两个柯西不等式的变式可供
使 用 ： 和
，其不同之处在于对分母变形时运算的选择，第
一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和”，在解题时
要根据题目中不同的定值条件来选择对应的不等式。
例 9：设 ，求证：
思路：所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变
形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。则所证
不 等 式 等 价 于 ， 化 简 后 可 得 ：
①，所证不等式为轮
换对称式，则不妨给 定序，即 ，则 ，由①的特点想到排
序不等式，则 为顺序和，是最大的，剩下的组合为乱序和或反序和，必
然较小，所以有 ，两式相加即可完成证明。
证明：
将所证不等式两边同取对数可得：
所证不等式为轮换对称式
不妨设
1 2, , , na a a
22 2 2
1 21 2
1 2 1 2
nn
n n
a a aa a a
b b b b b b
2
1 21 2
1 2 1 1 2 2
nn
n n n
a a aa a a
b b b a b a b a b
, ,a b c R 3
a b c
a b ca b c abc
3 ln 3 ln 3 ln ln ln lna a b b c c a b c a b c
2 ln 2 ln 2 ln ln ln ln ln ln lna a b b c c a b a c b a b c c b c a
, ,a b c 0a b c ln ln lna b c
ln ln lna a b b c c
ln ln ln ln ln ln
ln ln ln ln ln ln
a a b b c c a b b c c a
a a b b c c b a c b a c
, ,a b c R
3 ln ln ln ln ln ln3
a b c
a b c a b ca b c abc a a b b c c a b c
3 ln 3 ln 3 ln ln ln lna a b b c c a b c a b c
3 ln 3 ln 3 ln ln ln ln ln ln ln ln ln lna a b b c c a a a b a c b a b b b c c a c b c c
2 ln 2 ln 2 ln ln ln ln ln ln lna a b b c c a b a c b a b c c b c a
0a b c
ln ln lna b c
ln ln ln ln ln ln
ln ln ln ln ln ln
a a b b c c a b b c c a
a a b b c c b a c b a c
①
②
可得：
即证明不等式
小炼有话说：使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”，本题已知条件虽然没有
的 大 小 关 系 ， 但 由 所 证 不 等 式 “ 轮 换 对 称 ” 的 特 点 ， 可 添 加 大 小 关 系 的 条 件 ， 即
，从而能够使用排序不等式。
例 10：设正数 满足
（1）求 的最大值
（2）证明：
（1）思路：所求表达式为多元表达式，所以考虑减少变量个数，由 得
，则 ，下面考虑将 进行
转 化 ， 向 靠 拢 ， 利 用 基 本 不 等 式 进 行 放 缩 ， 可 得 ：
，再求关于 的表达式的最大
值即可。
解：
① ② 2 ln 2 ln 2 ln ln ln ln ln ln lna a b b c c a b a c b a b c c b c a
3
a b c
a b ca b c abc
, ,a b c
0a b c
, ,x y z 2 2 1x y z
3xy yz zx
3 1 1 125
1 1 1 26xy yz zx
2 2 1x y z
2 1x y z 13 3 3 2
zxy yz zx xy z x y xy z xy
x y 2
4
x yxy
2
2 1 13 1 33 4 2 4 4 2
z z zzxy yz zx x y z z
2 2 1x y z
2 1x y z
13 3 3 2
z zxy yz zx xy z x y xy
2 21
4 16
x y zxy
2 21 1 5 1 1 13 3 16 2 16 5 5 5
z z zxy yz zx z
的最大值为 ，此时
（2）思路：由（1）可知 的最大值为 ，且所证不等式的左边分母含有
项，所以考虑向 的形式进行靠拢，联想到柯西不等式的一个变形公式：
，可得：
，进而结合第（1）问的结果再进行放缩即可证
明不等式
解：由柯西不等式可得：
由（1）知
等号成立条件：
三、历年好题精选
1、设
（1）求证：
（2）若不等式 对任意非零实数 恒成立，求 的取值范围
2、（2014 吉林九校联考二模，24）已知关于 的不等式
（1）当 时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为 ，求实数 的取值范围．
3、（2015，福建）已知 ，函数 的最小值为 4
（1）求 的值
3xy yz zx 1
5
1 1
5 5
2 2 1
x y
z x y z
x y z
3xy yz zx 1
5 , ,xy yz zx
3xy yz zx
2
1 21 2
1 2 1 1 2 2
nn
n n n
a a aa a a
b b b a b a b a b
3 1 1 25
1 1 1 5 3xy yz zx xy yz zx
23 1 13 1 1 25
1 1 1 3 1 1 1 5 3xy yz zx xy yz zx xy yz zx
13 5xy yz zx
3 1 1 25 25 125=11 1 1 5 3 265 5
xy yz zx xy yz zx
1
5x y z
1 1 ,f x x x x R
2f x
2 1 1b bf x b
b x
x 1 1 0ax ax a a
1a
R a
0, 0, 0a b c f x x a x b c
a b c
（2）求 的最小值
4、（2015，新课标 II）设 均为正数，且 ，证明：
（1）若 ，则
（2） 是 的充要条件
5、（2015，陕西）已知关于 的不等式 的解集为
（1）求实数 的值
（2）求 的最大值
6、已知定义在 上的函数 的最小值为
（1）求 的值
（2）若 是正实数，且满足 ，求证：
7、（2014，江西）对任意的 ， 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8、（2014，浙江）（1）解不等式：
（2）设正数 满足 ，求证： ，并给出等号成
立条件
9、（2016，苏州高三调研）设函数
（1）证明：
（2）若 ，求实数 的取值范围
2 2 21 1
4 9a b c
, , ,a b c d a b c d
ab cd a b c d
a b c d a b c d
x x a b | 2 4x x
,a b
12at bt
R 1 2f x x x a
a
, ,p q r p q r a 2 2 2 3p q r
,x y R 1 1 1x x y y
1 2 3 4
2 2 1 3x x
, ,a b c abc a b c 4 9 36ab bc ac
1 0f x x x a aa
2f x
3 5f a
习题答案：
1、解析：（1）
（2）恒成立不等式为：
设
当 时，
当 时， 不成立
当 时，
2、解析：（1） 时，不等式为
或 ，解得
（2）问题转化为 ，不等式 恒成立
设
或
3、解析：（1）
（2）
1 1 1 1 2f x x x x x
2 1 1 1 11 1 2 1b bx x b b b
max
1 11 1 2 1x x b b
13, 1,
1 1 2 12 1 1, 2,0 0,1
13, , 2
b
g b b b b b
b
max 3g b 1 1 3x x
1x 32 3 2x x
1,1x 1 1 3 2 3x x
1x 32 3 2x x 3 3, ,2 2x
1a 12 1 1 1 2x x
11 2x 11 2x 1 3, ,2 2x
x R 1 1ax ax a
min1 1ax ax a
1 1 1f x ax ax a ax ax a a
1 1 2a a 0a
f x x a x b c x a x b c a b c
4a b c
2
22 2 2 2 2 21 1 1 12 3 1 2 3 1 164 9 2 3a b c a b c a b c
，等号成立条件：
4、解析：（1）
从而不等式得证
（2）若 ，则
即
，由（1）可得
若 ，则
即
综上所述： 是 的充要条件
5、解析：（1）
不等式解得：
（2）由（1）可得：
由柯西不等式可得：
6、解析：（1）
2 2 21 1 16 8=4 9 14 7a b c
8
711
1832
2 3 1 7
4 2
7
a
ba c b
a b c c
2 2
a b c d a b c d
2 2a b ab c d cd ab cd ab cd
a b c d 2 2a b c d
2 24 4a b ab c d cd
a b c d
ab cd a b c d
a b c d 2 2
a b c d
2 2a b ab c d cd ab cd ab cd
2 2 2 24 4a b ab c d cd a b c d
a b c d
a b c d a b c d
x a b b x a b
a b x b a
2 3
4 1
a b a
b a b
12 12 3 3 4at bt t t t t
2 2 2 223 4 3 1 4 16t t t t
3 4 4t t
1 2 1 2 3f x x x x x
（2）由柯西不等式可得：
7、答案：C
解析：
8、解析：（1）当 时， 解得
当 时， 解得
当 时。 解得
综上所述：解集为
（2）由 可得：
由柯西不等式可得：
等号成立条件：
9、解析：（1）
（2） 即
时，不等式转化为：
解得：
当 时，
解得：
3a
2 22 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 3p q r p q r p q r p q r
3p q r
2 2 2 3p q r
1 1 1 1 1 1 3x x y y x x y y
2x 2 2 1 3x x 8x
1 2x 2 2 1 3x x 0x 1 0x
1x 2 2 1 3x x 2x 1x
,0 8,
abc a b c 1 1 1 1bc ac ab
2
1 1 1 1 1 14 9 4 9 36ab bc ac ab bc acab bc ac ab bc ac
2, 3, 1a b c
1 1 1 2f x f x x a x x a x aa a a
3 5f
13 3 5aa
3a 213 3 3 5 5 1 0f a a aa
5 213 2a
0 3a 213 6 5 1 0f a a aa
1 5 32 a
综上所述：不等式的解集为： 1 5 5 21,2 2