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- 2021-06-03 发布
2017年高考全真模拟试题(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，考试时间120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|－1≤2x－1≤0}，则(∁RA)∩B＝( )
A．(4，＋∞) B.
C. D．(1,4]
答案 B
解析 由题意得，A＝[4，＋∞)，B＝，∴(∁RA)∩B＝，故选B.
2．设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虚数单位，a∈R)，若z1·z2∈R，则a等于( )
A．1 B．－1
C．4 D．－4
答案 C
解析 依题意，复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，因此4－a＝0，a＝4，选C.
3．已知命题p：若a0，使得x0－1－ln x0＝0，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
答案 C
解析 依题意，对于p，注意到当c＝0时，ac2＝bc2，因此命题
p是假命题；对于q，注意到当x0＝1时，x0－1－ln x0＝0，因此命题q是真命题，命题綈p是真命题，p∧q是假命题，p∨(綈q)是假命题，(綈p)∧q是真命题，(綈p)∧(綈q)是假命题．综上所述，选C.
4．[2016·石家庄二模]投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 投掷两枚骰子，点数形成的事件共有6×6＝36种，其中点数之和为8的事件有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)共5种，因此所求概率为P＝.
5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为( )
A. B.
C．2 D．17
答案 B
解析 设{an}的公比为q，依题意得＝＝q3，因此q＝.注意到a5＋a6＋a7＋a8＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)，即有S8－S4＝q4S4，因此S8＝(q4＋1)S4，＝q4＋1＝，选B.
6．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝( )
A．9 B．8
C．7 D．6
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x
＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.
7．[2016·陕西质量检测]如图，给出的是计算＋＋＋…＋的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )
A．i≤2021? B．i≤2019?
C．i≤2017? D．i≤2015?
答案 C
解析 由题知，判断框内可填“i≤2016？”或“i≤2017？”或“i<2017？”或“i<2018？”，故选C.
8．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值为( )
A．－ B．－
C．－ D．－1
答案 D
解析 由图象可得A＝，最小正周期T＝4×＝π，则ω＝＝2.又f＝sin＝－，得φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，选项D正确．
9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为( )
A.π B.
C．3π D．3
答案 A
解析 由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为，故体积为π3＝π，故选A.
10．设实数x，y满足约束条件则x2＋(y＋2)2的取值范围是( )
A. B．[1,17]
C．[1，] D.
答案 A
解析 画出可行域如图阴影部分所示，设x2＋(y＋2)2＝r2，当圆过点A(－1,2)时，r2取得最大值为(－1)2＋(2＋2)2＝1＋16＝17；当圆与直线x－y－1＝0相切时，r取得最小值为＝，则r2＝，∴x2＋(y＋2)2的取值范围是.
11．已知点F1、F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．4
C. D.
答案 C
解析 由题意，设|AB|＝3k，|BF2|＝4k，|AF2|＝5k，则BF1⊥BF2，|AF1|＝|AF2|－2a＝5k－2a，又|BF1|－|BF2|＝5k－2a＋3k－4k＝4k－2a＝2a，∴a＝k，∴|BF1|＝6a，|BF2|＝4a，又|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，即13a2＝c2，∴e＝＝，故选C.
12．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，当－1≤x<0时，f(x)＝－log (－x)，则方程f(x)－＝0在(0,6)内的所有根之和为( )
A．8 B．10
C．12 D．16
答案 C
解析 ∵奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，
∴f(x)是周期函数，其周期T＝4.又当x∈[－1,0)时，f(x)＝－log (－x)，故f(x)在(0,6)上的函数图象如图所示．
由图可知方程f(x)－＝0在(0,6)内的根共有4个，其和为x1＋x2＋x3＋x4＝2＋10＝12，故选C.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．已知在(－1,1)上函数f(x)＝且f(x)＝－，则x的值为________．
答案 －
解析 解法一：当－110.828.
所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效．
19．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)设AA1＝AC＝BC＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．
解 (1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．
又D是AB中点，连接DF，
则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，
所以AA1⊥CD.
由已知AC＝CB，D为AB的中点，
所以CD⊥AB.
又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得
∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，
故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.
所以V三棱锥C－A1DE＝××××＝1.
20．(本小题满分12分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点(2，2)，且离心率为，F1，F2是椭圆E的左，右焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点A，B是椭圆E上关于y轴对称的两点(A，B不是长轴的端点)，点P是椭圆E上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别交y轴于点M，N，求证：直线MF1与直线NF2的交点G在定圆上．
解 (1)由条件得a＝4，b＝c＝2，
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)证明：设B(x0，y0)，P(x1，y1)，则A(－x0，y0)．
直线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，
令x＝0，得y＝，
故M.同理可得N.
所以＝，
＝，
所以·＝·
＝－8＋＝－8＋
＝－8＋8＝0，
所以F1M⊥F2N，所以直线MF1与直线NF2的交点G在以F1F2为直径的圆上．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－mx在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)设函数g(x)＝ex－ex(e为自然对数的底数)，如果对任意的x1，x2∈，都有f(x1)－g(x2)≤3n2＋n恒成立，求实数n的取值范围．
解 (1)因为f(x)＝x3－mx，所以f′(x)＝3x2－m.
因为函数f(x)＝x3－mx在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，
所以f′(1)＝0，
所以3－m＝0，解得m＝3.
所以f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；
当－11时，g′(x)>0；
所以g(x)在上单调递减，在(1,2]上单调递增，
故函数g(x)在上的最小值g(x)min＝g(1)＝0.
所以3n2＋n≥2，解得n≤－1或n≥，
故实数n的取值范围是(－∞，－1]∪.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系xOy，直线l的参数方程为，若以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＋2cosθ＝0.
(1)写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相切，求tanα的值．
解 (1)由消去参数t得y＝tanα·(x－1)，
所以直线l的直角坐标方程为y＝tanα·(x－1)．
由ρsin2θ＋2cosθ＝0，得ρ2sin2θ＋2ρcosθ＝0，
将代入，解得曲线C的直角坐标方程y2＝－2x.
(2)由(1)，联立方程组
化简得tan2α·x2＋2(1－tan2α)x＋tan2α＝0，
则由Δ＝4(1－tan2α)2－4tan4α＝0，
解得tanα＝±.
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)若函数y＝f(x)的图象过原点，且|f(x)|≤1的解集为{x|－1≤x≤3}，求f(x)的解析式；
(2)若x＝－1,0,1时的函数值的绝对值均不大于1，当x∈[－1,1]时，求证：|ax＋b|≤2.
解 (1)由函数f(x)的图象过原点，得c＝0，
所以|f(x)|≤1可化为|ax2＋bx|≤1，其解集为{x|－1≤x≤3}，则由数形结合得|ax2＋bx|＝1的解为x＝－1或x＝3，且≤1，
解得a＝－，b＝或a＝，b＝－，
所以f(x)＝－x2＋x或f(x)＝x2－x.
(2)证明：由题意知
若证x∈[－1,1]时，|ax＋b|≤2，
则只需证|a＋b|≤2且|a－b|≤2，
因为|a＋b|＝|(a＋b＋c)－c|≤|a＋b＋c|＋|c|≤2，
|a－b|＝|(a－b＋c)－c|≤|a－b＋c|＋|c|≤2，
所以|ax＋b|≤2.