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- 2021-06-03 发布
第3节 抛物线及其性质
题型120 抛物线的定义与标准方程
1.（2013浙江理15）设为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点为线段 的中点，若，则直线的斜率等于________.
2.(2013全国新课标卷理11）设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为（ ）.
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
3.（2013山东理11） 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）.
A. B. C. D.
4.(2013天津理5）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点． 若双曲线的离心率为， 的面积为， 则（ ）.
A． B． C． D．
5.（2014 湖南理 15）如图所示，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过，两点，则________.
6.（2015陕西理14）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，
则________．
6．解析 的焦点坐标为，抛物线准线方程为
，所以.
命题意图 考查双曲线、抛物线的基本概念.
7.（2016全国乙理10）以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点.已知， ，则的焦点到准线的距离为（ ）.
A. B. C. D.
7. B 分析 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理.
解析 设抛物线为，圆的方程为，如图所示.
设，，点在抛物线上，所以，得，
联立①②，解得，即.则的焦点到准线的距离为4 .故选B.
8.（2016浙江理9）若抛物线上的点到焦点的距离为，则到轴的距离是_______．
8. 解析 由题意知，该抛物线的焦点，准线为.因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，所以点到轴的距离为9.
9.（2017北京理18（1））已知抛物线过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点.
（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
9.解析 （1）由抛物线过点，得.所以抛物线的方程为，抛物线的焦点坐标为，准线方程为.
10.（2017全国2卷理科16）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．
10．解析 由，得，焦点为，准线.如图所示，由为的中点，故易知线段为梯形的中位线.因为，，所以.又由抛物线的定义知，且，所以.
题型121 与抛物线有关的距离和最值问题——暂无
1.（2014 新课标1理10）已知抛物线： 的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）.
A. B. C. D.
2.（2017全国1卷理科10）已知为抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
2. 解析 解法一：设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，
，，，直线，直线.联立
，消去整理得，
所以，同理
，从而，当且仅
当时等号成立.故选A.
解法二：设的倾斜角为，抛物线的准焦距为．作垂直准线于点，垂直
轴于点，如图所示.
易知，
所以，
即，同理，所以.
又与垂直，即的倾斜角为，.
而，即，
所以
，当时取等号，即的最小值为.故选A.
题型122 抛物线中三角形、四边形的面积问题——暂无
1.（2014 新课标2理10）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于于两点，为坐标原点，则的面积为（ ）.
A. B. C. D.
2.（2014 四川理 10）已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）.
A． B． C． D．
3.（2015浙江理5）如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不
同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之
比是（ ）．
A. B.
C. D.
3. 解析 依题意，．故选A．
4.（2016天津理14）设抛物线（为参数，）的焦点为，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为_________.
4. 解析 抛物线的普通方程为，，.
又，则.由抛物线的定义得，所以，
则.由，得，
所以，，
即，．
5.（2016上海理20）有一块正方形菜地，所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示．
（1）求菜地内的分界线的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到
面积的“经验值”为．设是上纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值．
5.解析 （1）不妨设设分界线上任一点为，依题意
化简得．
（2）因为，所以，
设以为一边，另一边过点的矩形的面积为，则，
设五边形面积为，过作交于点，
则，
因为，，
所以五边形的面积更接近的面积．
题型（附） 抛物线（线性规划）
1.（2013江苏9）抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含
三角形内部和边界）.若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 .